Infinitamente uguali a loro stessi

Storicamente, il padre dei frattali è il matematico polacco naturalizzato francese Benoit Mandelbrot (1924-2010), benché essi fossero oggetti noti anche ai matematici delle generazioni precedenti. Mandelbrot fu il primo a introdurre il termine frattale e a formalizzarne le proprietà nella sua opera Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. In un’opera successiva, The Fractal Geometry of Nature, inoltre, Mandelbrot ha messo in evidenza i legami tra i frattali e alcune forme tipiche che si trovano in natura.

Da un punto di vista matematico, i frattali sono oggetti complessi. In particolare, soddisfano le seguenti proprietà:

1. Autosimilarità (o invarianza di scala): a scale differenti, un frattale si ripresenta sempre uguale a se stesso.


2. Struttura fine: a ogni ingrandimento è possibile rilevare dei dettagli; il che significa che le strutture ripetute a scale maggiori mostrano i dettagli di quelle più piccole.


3. Irregolarità: un frattale presenta una struttura irregolare e non può essere descritto attraverso semplici relazioni geometriche o analitiche.

Uno dei frattali più noti è proprio il frattale di Mandelbrot, conosciuto anche all’infuori dell’ambiente matematico per via delle sue suggestive rappresentazioni grafiche [Figura 1]. La rappresentazione artistica dei frattali ha dato vita alla branca della cosiddetta arte frattale, nella quale, grazie all’utilizzo di appositi software, vengono create immagini a partire da funzioni matematiche frattali.

Uno degli esempi più semplici di frattale prende il nome di curva di Koch (o, qualora si consideri la sua versione “chiusa”, di fiocco di neve di Koch). Vediamo come si costruisce seguendo un processo iterativo:

1. Si parte considerando un segmento e dividendolo in tre parti uguali (nel caso del fiocco, si parte da un triangolo, si divide in tre parti ognuno dei tre lati e si segue un procedimento di iterazione analogo a quanto segue):
   


2. Si “toglie” il segmento centrale e lo si sostituisce con due segmenti identici, che vengono posizionati in modo da formare i lati di un triangolo equilatero:
   


3. Si ripete l’intero procedimento per ognuno dei quattro segmenti, e così via:
   

 

In aggiunta a quelle già menzionate in precedenza, dal punto di vista matematico una delle proprietà più interessanti dei frattali è la loro dimensione. Solitamente, abbiamo familiarità con oggetti di dimensione intera: una linea retta è un oggetto unidimensionale, una superficie piana bidimensionale, un cubo tridimensionale…

In generale, in matematica (e nelle scienze che se ne servono) si ha spesso a che fare con oggetti e spazi n-dimensionali, dove n è un qualunque intero positivo. In fisica, un esempio importante di oggetto quadridimensionale è lo spaziotempo nella teoria della relatività di Einstein.

La particolarità dei frattali sta nel fatto che essi non hanno dimensione intera, bensì frazionaria: si parla in questo caso di dimensione frattale.

Senza entrare in una trattazione rigorosa circa la dimensione d di un frattale, è possibile dimostrare che essa è data dalla relazione:


dove “ln” indica la funzione logaritmo, mentre n e m sono delle variabili il cui significato verrà chiarito ora considerando un esempio specifico, ovvero quello della curva di Koch. In particolare, n/m esprime il rapporto tra la lunghezza della figura finale e quella iniziale dopo la prima iterazione (che riportiamo per chiarezza):

Poiché la prima figura è data da 3 segmenti di lunghezza uguale e quella finale da quattro segmenti, ne consegue che n/m = 4/3. Sostituendo questi valori (n = 4, m = 3) nella formula generale, si ottiene che la curva di Koch ha dimensione d = 1,26.

 

I frattali trovano applicazioni in molti ambiti, tra cui anche la fisica. Per esempio, vengono usati nello studio dei sistemi complessi e nella teoria del caos. Alla fine del secolo scorso, inoltre, è stata sviluppata una teoria cosmologica nota con il nome di cosmologia frattale, alla base della quale c’è l’ipotesi che l’Universo presenti una struttura frattale [Figura 2].

In Natura, è possibile imbattersi quotidianamente in strutture che ricordano le forme dei frattali. Gli esempi sono molteplici: in un albero, per esempio, ogni ramo è simile all’albero stesso, ogni rametto di ogni ramo è simile al ramo stesso e così via; oppure le coste, in particolar modo quelle molto frastagliate: ingrandendo un’immagine da satellite, infatti, si osserva una ripetizione delle forme dei golfi e delle insenature; e ancora, altri esempi di forme frattali naturali sono osservabili nei cristalli di ghiaccio, nelle nubi, nelle foglie e nel broccolo romanesco [Figura 3].

A proposito del legame tra frattali e Natura, e ancor più nello specifico tra i frattali e l’uomo, chiudiamo il nostro approfondimento con questa citazione di Benoit Mandelbrot: “Si ritiene che in qualche modo i frattali abbiano delle corrispondenze con la struttura della mente umana, è per questo che la gente li trova così familiari; questa familiarità è ancora un mistero, e più si approfondisce l’argomento più il mistero aumenta”.

 

[1] Frattali (Enciclopedia della Scienza e della Tecnica Treccani)

[2] Cosa sono i frattali, come si generano, e alcuni esempi in natura

[3] Fractal Geometry: what is it, and what does it do, by Benoit B. Mandelbrot

[4]Fractals and the Geometry of Nature, by Benoit B. Mandelbrot

 

Disegnare un frattale

L’arte frattale si serve di software che, calcolando delle funzioni matematiche frattali, danno come risultato finale una rappresentazione artistica.

1. Dividetevi in gruppi, assicuratevi di avere almeno un computer o un tablet con accesso a Internet e accedete alla pagina di Scratch:
   https://scratch.mit.edu/


2. Una volta fatto, cercate dei codici, come per esempio:
   https://scratch.mit.edu/projects/641823762/
   che rappresentano dei frattali e verificate che funzionino.


3. Sceglietene uno e provate a modificarlo a piacere, disegnando il vostro frattale.

 

Figura 1 – Wolfgang Beyer

Figura 2 sx – Volker Springel/Max Planck Institute for Astrophysics
Figura 2 dx – ESA/Hubble