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Lezione 23
PROBLEMI DI GEOMETRIA ANALITICA CON LA RETTA
Esercizio 1
L’appezzamento di terreno quadrilatero ABCD deve essere
suddiviso in tre parti da due scoline MN e PQ parallele al lato
BC, in modo che i punti M e P dividano in tre parti uguali il
lato AB. Allo scopo si è fatta stazione con un teodolite cen-
tesimale destrorso nei punti B e C rilevando i seguenti dati:
Stazione
Punto
collimato
Cerchio
orizzontale [gon]
Distanza [m]
B
A
81,225
144,658
C
0,000
86,442
C
B
106,444
86,446
D
386,585
186,479
Fissato un sistema di assi cartesiani avente il semiasse positi-
vo Y diretto lungo BC ed origine in B, dopo aver calcolato le
coordinate dei vertici del quadrilatero, determina le coordi-
nate dei quattro vertici che individuano gli estremi delle due
scoline.
Soluzione
Le coordinate di B e C sono subito determinabili:
B (0; 0) C (0; 86,444)
poiché il punto C appartiene all’asse Y e quindi la sua ordina-
ta è pari alla media aritmetica dei due lati misurati. Per trovare
le coordinate degli altri due vertici, determiniamo i due angoli
misurati (fig. 5):
β
= (BA) – (BC) = 81,225 gon
γ
= (CB) – (CD) + 400 = 119,859 gon
e quindi gli azimut
ϑ
BA
e
ϑ
CD
risultano:
ϑ
BA
=
β
= 81,225 gon
ϑ
CD
= 200 gon –
γ
= 80,141 gon
Le coordinate di A e D valgono pertanto:
x x
y y
A B
BA
A B
BA
= + BA sen = 138,413 m
= + BA cos
ϑ
ϑ
= 42,046 m
x x
y y
D C
CD
D C
CD
= + CD sen = 177,479 m
= + CD cos
ϑ
ϑ
= 143,676 m
Per determinare le coordinate degli estremi delle scoline,
tenuto conto che devono risultare parallele al lato BC, e quin-
di all’asse Y, e che devono dividere in tre parti uguali il lato
BA, notiamo che le equazioni delle rette che individuano tali
scoline risultano rispettivamente:
x x
= = 46,138
A
1
3
x x
= = 92,275
A
2
3
Le coordinate dei vertici potranno quindi essere individuate
determinando le equazioni delle rette passanti per AB e CD,
e quindi risolvendo il sistema che fornisce le intersezioni tra
le due coppie di rette.
La retta passante per A e B ha equazione:
y
= 0,303772
x
e quella passante per C e D:
y
= 0,322473
x
+ 86,444
Le coordinate degli estremi delle scoline risultano quindi:
x
y
x
M
M
M
= 46,138 m
= 0,303772 = 14,015 m
x
y
x
N
N
N
= 46,138 m
= 0,322473 + 86,444 = 101,322 m
x
y
x
P
P
P
= 92,275 m
= 0,303772 = 28,031 m
x
y
x
Q
Q
Q
= 92,275 m
= 0,322473 + 86,444 = 116,200 m
A
B
C
Y
N
Q
M
P
X
D
γ
β
Fig. 5
Unità 2
SISTEMI DI COORDINATE
Esercizi svolti