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MODULO 2
CAMPO OPERATIVO E SISTEMI DI COORDINATE
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23.3
Il coefficiente angolare delle rette
perpendicolari è pari al reciproco
dell’opposto di quella assegnata
In topografia è spesso utile individuare quelle direzio-
ni che risultano perpendicolari a una retta assegnata.
Supponiamo quindi di dover determinare le equazioni
delle rette perpendicolari alla retta di equazione (fig. 3):
y
=
mx
+
q
Constatando che l’angolo formato con l’asse delle ascisse
dalle rette perpendicolari alla retta assegnata risulta superio-
re a un angolo retto, esse avranno il coefficiente angolare:
m
b
= tan (90°+ =
=
sen (90° + )
cos (90° + )
α
α
α
)
=
cos
–sen
= –
tan
= –
1
α
α
α
1
m
Quindi l’equazione delle rette perpendicolari alla retta
assegnata sarà del tipo:
y
=
m’x
+
q’
con
q’
variabile ed
m’
pari al reciproco dell’opposto del
coefficiente angolare della retta assegnata.
23.4
Il punto di intersezione di due rette
si determina risolvendo il sistema
di equazioni delle rette
Individuate due rette del piano mediante le loro equazio-
ni, il loro punto di intersezione dovrà avere valori delle
coordinate tali da soddisfare contemporaneamente le due
equazioni. Da ciò consegue che le coordinate del punto di
intersezione di due rette potranno essere determinate dal
sistema costituito dalle equazioni delle due rette:
y m x q
y m x q
= +
= +
1
1
2
2
Tale sistema, naturalmente, avrà soluzioni solo nel caso
in cui i coefficienti angolari delle due rette siano diversi,
perché altrimenti si tratterebbe di due rette parallele.
Per determinare la distanza tra una retta di equazione:
y
=
mx
+
q
e un punto P di coordinate assegnate (fig. 4), dovremo
determinare l’equazione della retta passante per P e per-
pendicolare alla retta assegnata; calcolate le coordinate del
punto di intersezione Q tra le due rette, potremo determi-
nare la distanza cercata utilizzando la (2.11).
La retta perpendicolare alla retta assegnata ha un coefficiente
angolare pari all’opposto del reciproco del coefficiente ango-
lare assegnato, mentre l’ordinata all’origine può essere deter-
minata imponendo il passaggio per il punto P:
y
m
x q
P
P
= – +
1
b
da cui ricaviamo:
q
m
x y
b
= +
P P
1
Le coordinate del punto Q si ricavano quindi dalla solu-
zione del sistema:
y mx q
y
m
x
m
x y
= +
= – + +
P P
1 1
da cui otteniamo, dopo semplici passaggi:
x
my x mq
m
y
m y mx m q
m
q
Q
P P
Q
P
P
=
+ –
+
=
+ –
+
+
2
2
2
2
1
1
Conoscendo ora le coordinate di P e di Q, possiamo deter-
minare la distanza del punto P dalla retta:
d
x x
y y
q mx y
m
= PQ = ( – + ( – =
+ –
+
P Q
P Q
P P
)
)
2
2
2
1
(2.18)
y = mx + q
y = m'x + q'
O
90
o
+
α
Y
X
r
s
α
y = mx + q
X
Q
O
Y
r
P
(x
P
;y
P
)
Fig. 3
Fig. 4