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Lezione
Lezione LIM
23.1
Alcuni problemi topografici si possono
risolvere con la geometria analitica
Forniamo di seguito alcune nozioni elementari di geome-
tria analitica, argomento trattato più dettagliatamente nel
corso di matematica, che potranno essere utili per la riso-
luzione di particolari problemi di topografia.
La geometria analitica fornisce infatti in alcuni casi stru-
menti operativi che possono semplificare notevolmente
la mole dei calcoli necessari in alcuni problemi geome-
trici, trasformandoli appunto in problemi analitici. Ad
esempio, l’individuazione delle coordinate del punto di
intersezione di una retta con un arco di circonferenza
può risultare complessa utilizzando le procedure viste in
precedenza, ma risulta molto più semplice utilizzando la
geometria analitica.
Considerando, per semplicità, solo la geometria piana,
una linea, retta o curva, è rappresentata dal luogo geome-
trico dei punti di un piano le cui coordinate soddisfano
una determinata equazione, detta
funzione
:
y
=
f
(
x
)
che stabilisce il legame analitico tra le coordinate (
x
;
y
) dei
punti che giacciono sulla linea che essa rappresenta.
23.2
La retta ha due parametri
Per determinare l’equazione di una retta generica, cioè la
legge analitica che lega le coordinate X e Y dei punti di
tale retta, consideriamo il triangolo APQ della figura 1;
l’ordinata
y
del generico punto P può essere scritta come
la somma dei due segmenti OQ e AP, cioè:
y
=
—
OQ +
—
AP =
q
+
x
tan
α
Posto ora:
m
= tan
α
otteniamo l’equazione della retta in forma esplicita:
y
=
mx
+
q
(2.16)
dove
m
è il
coefficiente angolare
della retta e
q
è l’
ordinata
all’origine
, cioè il valore assunto dall’ordinata
y
quando
l’ascissa è nulla.
Se vogliamo determinare l’equazione della retta passante
per due punti A e B di coordinate note, possiamo applica-
re la seguente equazione:
y y
y y
x x
x x
−
−
−
−
A
B A
A
B A
=
(2.17)
che otteniamo considerando i triangoli simili ABB’ e APP’
della figura 2.
In tale equazione possiamo evidenziare il coefficiente
angolare e l’intersezione con l’asse delle ordinate, scriven-
dola nella seguente forma:
y
y y
x x
x y
y y
x x
x
= −
−
−
−
B A
B A
A
B A
B A
A
+ –
Nota che se le ascisse o le ordinate dei due punti sono
uguali, l’equazione (2.17) perde di significato, poiché si
annullerebbe uno dei due denominatori. In questi casi
infatti l’equazione delle rette è del tipo:
y
=
c
se sono entrambe uguali a
c
le ordinate dei due punti,
oppure del tipo:
x
=
c
se sono entrambe uguali a
c
le ascisse.
Problemi
di geometria
analitica
con la retta
23
P
(x;y)
X
O
Q
A
Y
x
q
y
A
(x
A
;y
A
)
B
(x
B
;y
B
)
P
(x;y)
α
B'
Y
O
X
P'
x
x
B
–
x
A
y
B
–
y
A
y
–
y
A
x
–
x
A
Fig. 1
Fig. 2
Unità 2
SISTEMI DI COORDINATE