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Lezione
Lezione LIM
22.1
La rototraslazione degli assi è
la combinazione di una rotazione
e di una traslazione
Nella pratica topografica capita spesso di dover riferire i
punti dei quali si sono determinate le coordinate ad un
altro sistema di riferimento, con origine in un altro punto
e con gli assi ruotati di un certo angolo
α
. Questo tipo
di problema si chiama
rototraslazione
(cioè rotazione e
traslazione) e può essere posto nel seguente modo (fig. 1):
dato un punto P di coordinate (X
P
; Y
P
) con riferimento ad
un sistema di assi X, Y avente origine nel punto O, quali
sarebbero le coordinate dello stesso punto con riferimento
ad un altro sistema di coordinate X’, Y’, inclinato di un
angolo
α
rispetto al precedente e con origine nel punto O’
di coordinate (X
O’
; Y
O’
)?
La risposta al problema la possiamo ricavare considerando
la figura 1, dove sono indicati i due sistemi di riferimento.
Dalla figura ricaviamo facilmente le seguenti equazioni:
X = O C – BC = O C cos – PC sen =
=
P
b b
b b
b
α
α
(X – X cos – (Y – Y sen
Y = CC B P =
P O
P O
P
b
b
b b b
)
)
α
α
+
O C sen + PC cos =
= (X – X ) sen
P O
b b
b
b
α
α
α
+ (Y – Y ) cos
P O
b
α
che risolvono il problema.
22.2
Le formule della rototraslazione si
possono sintetizzare con la notazione
matriciale
Una matrice è un insieme di numeri ordinati per righe e
colonne, come ad esempio la matrice A:
A
=
−
2 3 5
3 4 1
che è una matrice 2
×
3, cioè formata da due righe (prima
riga contenente i numeri 2, 3 e 5, seconda riga contenen-
te i numeri –3, 4 e 1) e da tre colonne (prima colonna
formata dai numeri 2 e –3, ecc.). Sulle matrici possono
essere effettuate numerose operazioni, ma qui ci interessa
definire il prodotto tra due matrici, operazioni possibile
solo quando il numero di righe della seconda matrice è
uguale al numero di colonne della prima, come ad esem-
pio il seguente:
A B
⋅
−
⋅
= 2 3 5
3 4 1
4
6
7
che è il prodotto tra la matrice
A
(2
×
3) per la matrice
B
(3
×
1). Il risultato del prodotto è una matrice che ha lo
stesso numero di righe della prima e lo stesso numero di
colonne della seconda; quindi nel caso dell’esempio avre-
mo 2 righe e 1 colonna. I termini della matrice prodotto si
ottengono sommando tutti i prodotti tra i termini delle righe
della prima matrice per quelli delle colonne della seconda.
Quindi, nel caso dell’esempio, avremo il seguente risultato:
A B
⋅
−
⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
=
=
=
2 3 5
3 4 1
4
6
7
2 4 3 6 5 7
3 4 4 6 1 7
61
19
− ⋅ + ⋅ + ⋅
=
Premesso questo, notiamo che la formula della rototra-
slazione precedentemente ricavata si può scrivere come il
prodotto tra 2 matrici 2
×
2 e 2
×
1:
X
Y
= cos
–sen
sen cos
X
P
P
P
b
b
⋅
α
α
α α
−
−
X
Y Y
O
P
O
b
b
cioè, in sintesi:
X’ = R X
(2.15)
avendo indicato con X’ e X le matrici contenenti le coordi-
nate e con R la
matrice di rotazione
.
La potenza della notazione matriciale sta appunto nella
semplicità con cui si possono indicare operazioni comples-
se, come appunto la rototraslazione. Infatti, con la mede-
sima scrittura data dalla (2.15) possiamo intendere anche
una rototraslazione tridimensionale, in cui, senza entrare
troppo nel dettaglio, la matrice di rotazione diventa:
R = cos
–sen
sen cos
1 0
0
0
0
α
α
α α
Operazioni
topografiche
avanzate con
le coordinate
22
α
α
α
B
B'
C
C'
Y'
Y
P
X
X'
A
y
P
y
O'
x
O'
x
P
x'
P
y'
P
O
O'
Fig. 1
Unità 2
SISTEMI DI COORDINATE