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MODULO 2
CAMPO OPERATIVO E SISTEMI DI COORDINATE
71
1
Presta attenzione alla circostanza che la differenza indicata si riferisce al
particolare caso in esame, in cui il lato CA è successivo (procedendo in
senso orario) al lato CB. Ricorda a tale proposito la regola per ricavare un
angolo al vertice: azimut successivo meno precedente, aggiungendo un
angolo giro nel caso la differenza risulti negativa.
22.3
I poligoni possono essere risolti anche
mediante le coordinate
In certi casi può risultare più agevole risolvere i poligoni
a mezzo delle coordinate piuttosto che tramite i teoremi
visti per i triangoli.
Risolvere un poligono mediante le coordinate significa deter-
minare tutte le coordinate dei vertici del poligono stesso.
La determinazione delle coordinate dei vertici di un poli-
gono può effettuarsi tenendo presente la seguente regola
generale:
a
)si individui uno o più punti di appoggio, di coordi-
nate note, a cui collegare i vertici di coordinate incogni-
te;
b
)si determinino le coordinate polari parziali (distanza
e azimut) dei punti da determinare rispetto ai punti di
appoggio;
c
)si calcolino le coordinate assolute dei punti applican-
do l’equazione (2.10) della Lezione 21, aggiungendo le
coordinate assolute dei punti di appoggio.
Supponiamo ad esempio di dover risolvere il triangolo
ABC (fig. 2), noti i due lati
b
e
c
e l’angolo compreso
α
.
Abbiamo già visto (Lezione 11) come può essere risolto il
triangolo. Volendo usare le coordinate è necessario prima
di tutto riferire il triangolo ad un sistema di coordinate X,
Y con origine ad esempio in A e asse X diretto lungo AB. In
questo caso la scelta del punto di appoggio è obbligatoria,
conoscendo le coordinate solo del punto A (0; 0).
Le coordinate polari del punto C rispetto ad A valgono:
—
AC =
b
ϑ
AC
= 90° –
α
quindi le coordinate di C sono:
X
C
= X
A
+
—
AC sen
ϑ
AC
=
b
sen
ϑ
AC
Y
C
= Y
A
+
—
AC cos
ϑ
AC
=
b
cos
ϑ
AC
Analogamente, per il punto B si ha:
—
AB =
c
ϑ
AB
= 90°
X
B
= X
A
+
—
AB sen
ϑ
AB
=
c
Y
B
= Y
A
+
—
AB cos
ϑ
AB
= 0
Una volta determinate le coordinate dei vertici possiamo-
determinare tutti gli elementi che si desiderano, mediante
le formule di trasformazione dalle coordinate rettangolari
a quelle polari.
Così la distanza
a
risulterà:
a
x
y
= CB= ( ) + ( ) = (X – X ) + (Y – Y )
B C
2
B C
2
B C
2
B C
2
e l’angolo
γ
1
:
γ ϑ ϑ
= – = arctan
(
(
+ 180° –
CA CB
A C
A C
x
y
)
)
arctan
(
(
+ 180°
B C
B C
x
y
)
)
Come possiamo notare, in questo semplice caso sarebbe
stata più agevole la soluzione vista nel Modulo 1, Unità
3. In certi casi però, soprattutto quando si ha a che fare
con poligoni con più di tre lati, può risultare più agevole il
metodo qui esposto.
22.4
Conoscendo le coordinate, l’area di un
poligono si determina con la formula di
Gauss
Determinate le coordinate dei vertici possiamo inoltre
determinare subito l’area del poligono con una semplice
formula, denominata
formula
di
G
auss
, che verrà dimo-
strata e discussa nel terzo volume:
A = Y (X – X = X (Y – Y
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
i
i
i
i
n
i
i
i
i
−
+
=
+
−
=
∑
)
)
n
∑
essendo indifferente utilizzare la prima o la seconda, e
dove l’indice
i
sta ad indicare il generico vertice del poli-
gono,
i
– 1 il vertice precedente ed
i
+ 1 quello successivo.
Ad esempio nel caso del triangolo tale formula diventa:
A = X (Y – Y ) + X (Y – Y ) + X (Y – Y )
A B C
B C A
C A B
1
2
Nel caso del quadrilatero:
A = X (Y – Y ) + X (Y – Y ) + X (Y – Y ) + X
A B D B C A
C D B
D
1
2
(Y – Y )
A C
e così via.
Nota che l’area determinata con la formula di Gauss può
risultare positiva o negativa; per questo motivo nelle pre-
cedenti espressioni abbiamo inserito il segno di valore
assoluto. Nel terzo volume invece vedremo che il segno
assunto dall’area determinata con tali formule ha un pre-
ciso significato.
X
Y
A
a
c
b
B
C
ϑ
AC
γ
=
ϑ
CA
–
ϑ
CB
α
=
ϑ
AB
–
ϑ
AC
β
=
ϑ
BC
–
ϑ
BA
ϑ
AB
ϑ
BC
ϑ
BA
ϑ
CA
ϑ
CB
Fig. 2