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LEZIONE 5
Sistema di equazioni ai nodi e alle maglie
I circuiti elettrici, di qualunque complessità essi siano, sono sempre riconducibili
a uno schema avente la forma di una rete. Per tutte le reti a più maglie il metodo
risolutivo con il sistema di equazioni consiste nello scrivere un numero di equazioni
relative alla rete pari al numero delle correnti sconosciute (e quindi pari al numero
di rami).
La soluzione del sistema contenente tutte le equazioni permet-
te di trovare tutte le correnti incognite. In generale occorre
determinare le correnti, note le f.e.m. e le resistenze, ma qual-
che volta occorre determinare queste ultime date le f.e.m. e le
correnti.
Per facilitare la comprensione e la memorizzazione del metodo
procederemo all’enunciazione dei vari passi insieme alla loro
applicazione a un circuito.
Nel circuito di
FIG. 1
sono noti i valori delle f.e.m. applicate e
delle resistenze. Vogliamo conoscere i valori delle correnti che
percorrono i vari rami e il loro verso.
Il metodo è il seguente.
a)
Indica per ciascun ramo un nome e un verso della corrente.
È consigliabile, ma non è strettamente necessario, scegliere
il verso più probabile. Nel circuito in esame abbiamo, ad
esempio, scelto i versi mostrati nella
FIG. 2a
.
b)
Indica su ciascun elemento dei rami (resistenze e generato-
ri) i segni + e – della differenza di potenziale ai suoi capi.
(Ricorda che ai capi di una resistenza il segno + va posto sul
lato dove la corrente entra). Si ottiene lo schema di
FIG. 2b
.
c)
Scrivi tutte le equazioni relative ai nodi meno una.
Questa omissione si spiega poiché si può dimostrare la
sua inutilità, in quanto risulterebbe solamente una com-
binazione delle precedenti e non una nuova equazione.
Per il circuito della
FIG. 2b
, contenente due nodi, scegli uno
dei due (ad esempio il nodo
B
):
I
1
+
I
2
–
I
3
= 0
d)
Completa il sistema d’equazioni scrivendo quelle relative
ad alcune maglie diverse in modo da ottenere un numero
complessivo di equazioni pari al numero delle correnti
incognite. Ciascuna equazione alle maglie può essere scritta
scegliendo un punto di partenza e percorrendola per intero
fino a tornare allo stesso punto. Durante il percorso somma
le tensioni ai capi delle resistenze e le f.e.m. se le incontri
dal lato con il segno +, mentre sottraile se le incontri dal lato
con il segno – .
Per il circuito
2b
scegliamo le mag
lie ABEFA e BCDEB, ottenendo
:
per il nodo B:
I
1
+
I
2
–
I
3
= 0
per la maglia ABEFA:
R
3
·
I
3
–
E
1
+
R
1
·
I
1
= 0
per la maglia BCDEB: –
R
2
·
I
2
+
E
2
–
R
3
·
I
3
= 0
e)
Risolvi algebricamente il sistema così ottenuto.
Conviene ricordare che se la soluzione indica un valore negativo per alcune
correnti, significa che, per esse, il verso di percorrenza convenzionale è invertito
rispetto a quello indicato inizialmente nello schema di
FIG. 2a
.
A
+
–
+
–
F
B
E
C
D
E
2
E
1
R
1
R
3
R
2
A
+
–
+
–
F
B
E
C
D
E
2
E
1
R
1
R
3
R
2
I
2
I
1
I
3
A
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
F
B
E
C
D
E
2
E
1
R
1
R
3
R
2
I
2
I
1
I
3
FIG. 1
Esempio di rete
con tre rami.
FIG. 2
a) Scelta del verso
delle correnti;
b) indicazioni delle
differenze di
potenziale.
a
b