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1. Wittgenstein e la tradizione empiristica
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Gli strumenti usati in precedenza dall’analisi e dalla teoria degli insiemi sono semplicemen-
te sbagliati per Brouwer, il cui obiettivo diventa quindi quello di ricostruire del tutto l’ana-
lisi, a partire da una nuova
teoria “intuizionista” del continuo
.
Il
programma
rigorosamente
costruttivista
sostenuto da Brouwer e dai suoi discepoli ha
conosciuto fortune alterne, fino a essere oggi di nuovo al centro dell’attenzione in diversi
settori della logica e della filosofia della matematica.
1.2.4 Il formalismo di Hilbert
Una risposta diversa dal logicismo e dal costruttivismo ai
problemi emersi nei fondamenti della matematica è quella del
programma
formalistico
del matematico tedesco
David Hilbert
(1862-1943). L’idea di base è che i metodi e i con-
cetti che non sono affidabili dal punto di vista intuitivo (come per esempio quelli che coin-
volgono l’infinito attuale) non vadano esclusi ma “fondati”, e che questo sia possibile at-
traverso una completa e accurata
formalizzazione
delle
teorie matematiche
, sulla base del
metodo assiomatico
.
Abbiamo visto come gli sviluppi della geometria e dell’algebra nell’Ottocento abbiano condot-
to a un progressivo dissolversi della funzione fondante dell’intuizione per gli assiomi delle teo-
rie matematiche. Questo porta, nella concezione assiomatica, a cercare altrove la giustificazione
degli assiomi usati, e in particolare della loro
non contraddittorietà
(o
consistenza
).
Con la scoperta delle antinomie si pone l’esigenza di garantire il sistema assiomatico non
solo da eventuali contraddizioni degli assiomi matematici, ma anche dalle contraddizioni
che possono essere introdotte dall’apparato logico deduttivo. Da qui il programma forma-
lista hilbertiano di una rigorosa esplicitazione di tutti i meccanismi logici e linguistici delle
teorie, che a partire dagli anni Venti del Novecento si configura come una vera e propria te-
oria delle teorie matematiche, la
metamatematica
.
Il compito principale della metamatematica è dunque quello di
fornire dimostrazioni di
consistenza
per le singole teorie matematiche, prima di tutto per l’aritmetica, a partire dal-
la loro completa formalizzazione. Ma questo programma viene bloccato da una scoperta
che ha un effetto dirompente nel dibattito sui fondamenti della matematica, segnando una
seconda svolta
cruciale dopo quella della scoperta delle antinomie.
1.2.5 I teoremi di Gödel
Si tratta della scoperta nel 1931 da parte del matematico austriaco
Kurt Gödel
(1906-1978) del fenomeno dell’
incompletezza
dei
sistemi formali
, dove con
“sistema formale” s’intendono le teorie assiomatiche formalizzate nel senso hilbertiano.
La
completezza
di una teoria formale riguarda la seguente proprietà:
•
se la teoria sia in grado di
dimostrare
o
refutare ogni sua proposizione
, dove “refutare
una proposizione” significa dimostrare la sua negazione.
Da questo punto di vista la prima questione, sollevata da Hilbert nell’ambito del suo pro-
gramma formalistico, era quella della completezza della teoria più elementare, l’aritmetica,
nella versione assiomatica dovuta al matematico torinese
Giuseppe Peano
(1858-1932).
La questione posta da Hilbert era quindi se gli assiomi di Peano della teoria elementare dei
numeri fossero in grado di dimostrare o refutare ogni proposizione della teoria.
Gödel dimostra non solo che la risposta alla questione di Hilbert è negativa, ma anche che
non è possibile costruire un’assiomatizzazione della teoria dei numeri che goda della pro-
prietà di completezza, in altre parole:
•
che l’
aritmetica
è non solo incompleta, ma anche
incompletabile
–
primo teorema
di
Gödel;
•
da questo segue il teorema che stabilisce l’
indimostrabilità della non contraddittorietà
di un sistema formale capace di formalizzare i mezzi ammessi per tale dimostrazione –
se-
condo teorema
di Gödel.
Detto in altre parole: una teoria formale è capace di esprimere, ma non di dimostrare, la
propria non contraddittorietà.
Il secondo teorema ha come conseguenza il fallimento del programma fondazionale hil-
bertiano.
Un programma
rigorosamente
costruttivista
La non
contraddittorietà o
consistenza degli
assiomi
Il programma di
formalizzazione
La questione
dell’incompletezza dei
sistemi formali
I due teoremi
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