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Il secondo Novecento
Non solo: con i due teoremi di Gödel emerge chiaramente una sostanziale irriducibilità del
concetto semantico di
verità
a quello sintattico di
dimostrazione
. Risulta infatti impossi-
bile costruire una teoria assiomatica i cui teoremi (le proposizioni dimostrate) coincidano
con le proposizioni vere dell’aritmetica (altrimenti detto: non tutte le formule “vere” sono
“teoremi” della teoria).
L’effetto dei teoremi di Gödel è stato tutt’altro che unicamente negativo. Le sue scoperte hanno
dato impulso a sviluppi in campo logico, matematico e filosofico di enorme portata. Basti ri-
cordare che dai lavori di Gödel ha origine la linea di ricerca che porta al concetto di
computa-
bilità effettiva
, alla base della teoria della computabilità e, se vogliamo, degli odierni computer.
IL DIBATTITO SUI FONDAMENTI
è impossibile costruire
un sistema assiomatico sul
modello hilbertiano
LOGICISMO
Frege
Brouwer
Hilbert
Russell
teoria dei tipi
rifiuta logica
classica e modello
aritmetizzato del
continuo
programma
hilbertiano:
vuole dimostrare
la
completezza
della teoria
dell’aritmetica
InTUIZIOnISMO
GÖDEL
FORMALISMO
la matematica è riducibile
alla logica e può essere
fondata su di essa
la matematica è frutto
di una costruzione a partire
da un’unica intuizione
la matematica è un sistema
assiomatico valido (non
contraddittorio) a prescindere
dalle interpretazioni e se ne può
dimostrare la completezza
primo teorema
il
sistema assiomatico
di fondazione
dell’aritmetica è
incompleto
e
incompletabile
secondo teorema
la
non contraddittorietà
di un sistema
assiomatico è
indimostrabile
Le conseguenze dei
risultati di Gödel
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