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Il secondo Novecento
me ecc.) che gode di una data proprietà”? L’ente matematico considerato esiste indipenden-
temente dai metodi con cui è individuato –
concezione realistica
o
platonica
degli enti
matematici –, oppure non ha senso separare l’asserzione di esistenza dai modi effettivi me-
diante i quali lo si determina? La questione ruota, in definitiva, intorno al contrasto tra una
concezione descrittiva
e una
concezione costitutiva
della matematica:
•
da una parte gli
enti matematici
e le loro proprietà sono considerati come
dati indipen-
dentemente dalla nostra attività razionale
,
•
dall’altra parte sono visti come il
risultato di atti costitutivi
di questa attività.
La questione è dunque strettamente collegata al modo in cui si definisce un ente matema-
tico, ed è proprio questo che Russell identifica come il punto cruciale alla radice delle anti-
nomie. In ognuna delle antinomie viene infatti usato un procedimento definitorio tale che,
nella definizione di un ente, viene fatto riferimento a totalità alle quali l’ente appartiene
(per cui Russell parla di
autoriferimento
come caratteristica comune delle antinomie esa-
minate). Secondo la terminologia introdotta dal matematico e filosofo Poincaré questo ti-
po di definizioni sono chiamate
impredicative
.
La soluzione proposta da Russell è di evitare le definizioni impredicative e le relative falla-
cie dell’autoriferimento ricorrendo a un processo di costituzione “dal basso” dei concetti,
in accordo con quello che chiama “principio del circolo vizioso”: cioè il principio per cui
“nessuna totalità può contenere elementi definiti in termini di se stessa”. Il modo per rea-
lizzare questo intento è d’introdurre una
gerarchia di livelli
o
tipi
.
Il risultato è l’elaborazione di un
nuovo sistema logico
noto come “
teoria ramificata dei
tipi
”, in cui gli
enti logici
vengono organizzati secondo una
disposizione gerarchica
di
ti-
pi
via via crescenti, dagli enti logicamente più semplici a quelli più complessi, definiti fa-
cendo riferimento solo a enti già definiti. Il problema che Russell incontra in questo modo
sta nella debolezza del sistema logico: dal rifiuto delle definizioni impredicative seguono
delle limitazioni eccessive alla matematica costruibile sulla base di tale logica. Russell ten-
ta di rimediare introducendo nuovi assiomi, che però sono “estranei” allo spirito di parten-
za e alla fine violano proprio il divieto di usare definizioni impredicative.
1.2.3 L’intuizionismo di Brouwer
Una posizione più radicale in direzione “costruttivista” è
quella rappresentata dal cosiddetto “intuizionismo”, proposto nel 1907 dall’olandese
Luit-
zen Egbertus Jan Brouwer
(1881-1966). Per Brouwer l’
attività matematica
è essenzialmen-
te
mentale
, e l’atto di costruzione matematica non deve essere confuso con la definizione,
che appartiene al piano del linguaggio matematico.
Gli
oggetti matematici
sono frutto unicamente di
atti mentali
o
costruzioni
, e il linguag-
gio (con le sue definizioni) diventa solo un mezzo per comunicare gli atti mentali del sog-
getto matematico.
Ma su che cosa sono basati questi atti mentali? Alla loro radice, per Brouwer, sta un’«unica
e fondamentale intuizione a priori».
In una simile concezione, l’esistenza di un ente matematico può significare solo una sua av-
venuta costituzione.
Questo significa, in particolare, che non è legittimo secondo Brouwer estrapolare certe
leg-
gi della logica
, valide su
domini finiti
, ed estenderle a
domini infiniti
, considerandole in
tal modo valide a priori. L’esempio più significativo è rappresentato dal “principio del ter-
zo escluso”, ovvero il principio, fondamentale nella logica classica, per cui ogni ente mate-
matico gode o non gode di una determinata proprietà. Il principio è valido su domini fini-
ti, come si può verificare; ma se estrapolato ed esteso a domini infiniti comporta che le pro-
prietà degli enti matematici siano determinate una volta per tutte, indipendentemente dal-
le nostre costruzioni mentali.
La
matematica intuizionista
rifiuta dunque sia la
logica classica
sia il
modello aritmetiz-
zato del continuo
di
Cantor
e di
Dedekind
.
FILOSOFI
A
CONFRONTO
Autoriferimento
e definizioni
impredicative
Evitare le definizioni
impredicative
La teoria dei tipi
Gli oggetti matematici
sono costruzioni
Limiti all’uso delle
leggi logiche
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