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Il secondo Novecento
1.2 Il dibattito sui fondamenti della matematica
1.2.1. Il riduzionismo di Frege e l’antinomia di Russell
Il processo di riduzione messo in
atto nel programma di aritmetizzazione dell’analisi viene ulteriormente portato avanti dal
matematico e logico tedesco
Gottlob Frege
(1848-1925). Mentre Weierstrass, Dedekind e
Cantor si fermano al concetto di numero naturale, Frege aspira a una fondazione raziona-
le definitiva dell’aritmetica, dove il concetto di numero naturale è esso stesso “ridotto”, e
questo nei termini di una combinazione di concetti puramente logici, da cui il nome di
lo-
gicizzazione dell’aritmetica
dato a questa fase del
riduzionismo
matematico.
Nella realizzazione di questo programma, Frege costruisce una buona parte di quella che
poi è diventata nota come “logica dei predicati”, sviluppando inoltre una vera e propria
te-
oria del significato
, centrata sulla distinzione tra
senso
e
denotazione
, cioè tra:
•
l’aspetto
intenzionale
, relativo al contenuto conoscitivo;
•
l’aspetto
estensionale
, relativo al riferimento concreto delle espressioni.
Nel caso del numero quattro, per esempio, questa distinzione tra il piano dei
segni
(indi-
cati tra virgolette), il piano del
concetto
espresso (intensione o senso) e il piano del
riferi-
mento
(estensione) si articola in questo modo:
1.
il numero quattro è la denotazione (riferimento concreto) dei segni “4” e “22”;
2.
la denotazione di un nome è distinta dal suo senso (contenuto conoscitivo). Per esem-
pio “22” e “2 + 2” hanno la medesima denotazione (il numero 4) ma non hanno lo stesso
senso, perché rimandano a due operazioni diverse; invece “2
2
= 4” e “2 + 2 = 4” hanno lo
stesso senso (sono entrambe formule che esprimono una equivalenza);
3.
un nome, o una formula, esprime il suo senso e indica la sua denotazione.
Sulla teoria fregeana del significato sono fondate, in particolare, le sue nozioni di
funzione
e
concetto
, che hanno un ruolo fondamentale nel programma di riduzione logica del concetto
di numero. Un punto cruciale implicato dalla “teoria delle funzioni” (e dei concetti, visti come
casi particolari di funzioni) elaborata da Frege è il cosiddetto “principio di comprensione”, per
cui a ogni proprietà o concetto è associata la rispettiva “estensione”, cioè l’insieme degli oggetti
che godono di quella proprietà o cadono sotto quel concetto (Frege non usa il termine “insie-
me”, ma quello di “classe”: qui, per semplicità, adoperiamo sempre il termine “insieme”).
Grazie a tale principio Frege può arrivare alla
definizione di numero
come estensione di
un opportuno concetto. Si tratta del
concetto di “equinumerosità”
, che è così definito:
due
insiemi
sono equinumerosi, cioè hanno lo stesso numero di oggetti, se i loro elementi pos-
sono essere messi in
corrispondenza biunivoca
. Con tale trattazione estensionale, Frege
raggiunge dunque un doppio scopo: da una parte, la possibilità di usare ingredienti solo
logici nella definizione di numero; dall’altra parte, la possibilità di garantire l’esistenza de-
gli enti matematici, inclusi quelli infiniti (assegnare un’estensione a un concetto equivale
infatti a garantire l’esistenza di oggetti che cadono sotto di esso).
Ma è davvero lecito passare da un concetto alla sua estensione? E dal fatto che l’estensione
di un concetto coincide con quella di un altro concetto, si può sempre concludere che ogni
oggetto che cade sotto il primo concetto cade anche sotto il secondo concetto? Queste do-
mande, sollevate nel 1902 da
Bertrand Russell
(1872-1970) con un argomento divenuto
molto famoso e noto come l’
antinomia di Russell
, mettono in evidenza come proprio nel
principio di comprensione
, uno dei pilastri su cui si basa il
programma logicista
di
Frege
,
si annidi il problema che ne rivela l’insostenibilità.
FILOSOFI
A
CONFRONTO
L’argomento di Russell è centrato sul concetto di “insieme che non appartiene a se stesso“. L’esten-
sione di questo concetto è, secondo la definizione di Frege, l’insieme “I” degli “insiemi che non
appartengono a se stessi“. Russell pone allora la seguente domanda: questo insieme “I” appar-
tiene a se stesso? Entrambe le risposte (sì / no) conducono a una contraddizione:
La teoria del
significato di Frege
Il principio di
comprensione
Una definizione logica
di numero
L’antinomia
di Russell
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