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1. Wittgenstein e la tradizione empiristica
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zione soddisfacente dei concetti fondamentali di questa disciplina, come quelli di
limite
,
convergenza
,
derivata
e
integrale
.
Alla radice del problema della determinazione di questi concetti, e in generale del fondamen-
to del calcolo infinitesimale, è la definizione della nozione di
continuità
. Come notava il ma-
tematico tedesco
Richard Dedekind
(1831-1916) nel suo scritto
Continuità e numeri irrazio-
nali
(1872), spesso si dice che il calcolo si occupa di
grandezze continue
ma senza definire
questa “continuità”; quando la si definisce, è per lo più facendo ricorso a rappresentazioni di
tipo geometrico (e quindi, in ultima istanza, all’intuizione geometrica). Il problema era dun-
que quello di una fondazione rigorosa e non geometrica del concetto di grandezza continua.
La soluzione proposta, a opera soprattutto di tre matematici tedeschi,
Karl Weierstrass
(1815-1897),
Georg Cantor
(1845-1918) e lo stesso Dedekind, è quella di una sistematica
riduzione dei
concetti analitici
a
concetti numerici
, nota come
aritmetizzazione dell’ana-
lisi
. L’idea di fondo è che il concetto di
numero
possa costituire il fondamento adeguato
per l’analisi poiché è «del tutto indipendente dalle nozioni ed intuizioni dello spazio e del
tempo» ed è una «emanazione immediata delle leggi del pensiero».
I numeri a cui si riferisce Dedekind e ai quali viene ricondotta tutta l’analisi sono i cosid-
detti
numeri naturali
, cioè i
numeri interi positivi
. A partire da questi vengono creati tut-
ti gli altri
numeri reali
: lo
zero
, i
numeri negativi
,
frazionari
(razionali),
irrazionali
(che
non possono essere scritti sotto forma di frazione). Questo programma viene messo in at-
to essenzialmente attraverso la realizzazione di un modello “aritmetizzato” della retta, l’en-
te geometrico tradizionalmente usato come rappresentazione intuitiva del continuo. Par-
tendo dalla constatazione che alla retta si attribuisce «assenza di lacune o continuità», si
tratta di trovare in che cosa consista propriamente questa proprietà di continuità, per poter
fondare su di essa «l’indagine di
tutti
i domini continui».
Un principio equivalente alla rappresentazione geometrica della continuità di Dedekind
viene formulato contemporaneamente anche da Cantor. Nella trattazione del problema del-
la continuità da parte sia di Dedekind sia di Cantor gioca un ruolo fondamentale la nozio-
ne di
collezione infinita di punti
, e a questo ruolo è associata, in entrambi, una determi-
nata concezione dell’infinito: come
infinito compiuto in sé
–
infinito attuale
–, invece che
come
grandezza variabile
che cresce oltre ogni limite –
infinito potenziale
.
Tale concezione è, in particolare, alla base degli studi di Cantor sugli
insiemi infiniti di pun-
ti
, da cui poi si sviluppa la sua
teoria degli insiemi
e, ad essa strettamente collegata, la sua
aritmetica dei
numeri transfiniti
, che è essenzialmente una teoria matematica dell’infinito at-
tuale, o “transfinito”.
PER SInTETIZZARE
• L’infinito di cui si occupa Cantor è un infinito attuale o un infinito potenziale?
OBIETTIVI E RISULTATI DELL’ARITMETIZZAZIONE DELL’ANALISI
•
definizione dei concetti dell’analisi in termini aritmetici e rigorosi (
riduzionismo
)
•
abbandono della relazione tra numeri e concetti intuitivi (come lo spazio e il tempo)
•
definizione in termini aritmetici di un ente geometrico (la retta)
ARITMETIZZAZIOnE DELL’AnALISI
CAnTOR
=
TEORIA DEGLI InSIEMI e nUMERI TRAnSFInITI
Il problema delle
grandezze continue
I tentativi di
aritmetizzazione
dell’analisi: gli
elementi teorici...
... i numeri naturali e il
modello aritmetizzato
della retta...
... infinito attuale, non
potenziale
Le teorie di Cantor:
insiemi e numeri
transfiniti
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