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Il secondo Novecento
gebra evolve infatti in direzione di un crescente distacco dal piano puramente quantitativo:
alla concezione tradizionale dell’algebra come scienza delle equazioni algebriche e delle lo-
ro soluzioni se ne affianca una sempre più astratta. La nozione stessa di algebra si genera-
lizza, fino a diventare una
scienza delle grandezze
in generale: l’
algebra simbolica
, che si
configura, nelle parole del matematico inglese
George Peacock
(1791-1858), come «una
scienza dei simboli e delle loro combinazioni, costruite su loro proprie regole, che posso-
no applicarsi all’aritmetica e a tutte le altre scienze per interpretazione». In altri termini, le
leggi del calcolo algebrico astratto non descrivono un determinato sistema di oggetti con le
loro caratteristiche – come per esempio i numeri nel caso del calcolo aritmetico –, ma pre-
cedono i sistemi di interpretazione, o modelli del calcolo, logicamente possibili.
Il configurarsi dell’algebra sempre più come studio delle proprietà delle operazioni in sen-
so astratto, indipendentemente dalla natura degli oggetti su cui queste operazioni agisco-
no, è ciò che permette la
matematizzazione della logica
e quindi la nascita della
logica
moderna
. Sganciandosi progressivamente dagli aspetti quantitativi, l’algebra può infatti
trattare di operazioni non più solo tra numeri o grandezze, ma anche tra enti del tutto di-
versi, come le proposizioni, collegate tra loro da operazioni quali la congiunzione, la di-
sgiunzione e l’implicazione. Per esempio: nell’uguaglianza
a
+
b
=
b
+
a
, i simboli
a
e
b
pos-
sono essere interpretati come numeri e il simbolo + come l’operazione di addizione: l’ugua-
glianza delle due espressioni esprime, allora, la proprietà commutativa dell’addizione; ma
è possibile anche interpretare i simboli
a
e
b
come proposizioni, il simbolo + come l’ope-
razione di disgiunzione “o”, il simbolo = come il connettivo logico “se e solo se”. Anche
questa interpretazione rende infatti vera l’uguaglianza.
Lo sviluppo di un
calcolo algebrico
per le
operazioni
tra
proposizioni
, tradizionalmente
studiate nell’ambito della logica, si deve essenzialmente all’opera dell’inglese
George Boo-
le
(1815-1864). L’espressione “algebra della logica” (
logical algebra
) è del matematico ingle-
se
Augustus De Morgan
(1806-1871), autore di una prima trattazione algebrica delle rela-
zioni tra proposizioni.
Ma il vero fondatore dell’algebra della logica è Boole, il cui calcolo simbolico, poi noto co-
me
calcolo booleano
, apre la strada allo sviluppo della moderna
logica formale
.
DALL’ALGEBRA ALLA LOGICA
logica moderna o logica formale
RICERCHE SULL’ALGEBRA
danno luogo a
•
sviluppo
in senso
astratto
dell’
algebra
(vs intuizione)
• matematizzazione della logica
e nascita
dei sistemi formali/assiomatici
•
distinzione tra
sintassi
e
semantica
nei sistemi assiomatici
•
invenzione del
calcolo simbolico
o booleano
1.1.4 Il problema del continuo e l’aritmetizzazione dell’analisi
La critica del ricorso all’in-
tuizione per fondare il sapere matematico investe anche l’
analisi
: ossia la disciplina mate-
matica che si sviluppa a partire dal calcolo differenziale e integrale (o calcolo infinitesima-
le) di Leibniz e Newton e che è intesa, in generale, come lo studio delle
funzioni
e delle
loro variazioni. L’esigenza di rigore che si afferma sempre più nell’ambito della matemati-
ca ottocentesca si concretizza, per quanto riguarda l’analisi, nella ricerca di una determina-
Algebra e logica
L’algebra della logica e
il calcolo booleano
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