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1. Wittgenstein e la tradizione empiristica
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Una terza posizione, che si distingue sia da quella empirista sia da quella aprioristica, verrà
proposta verso la fine dell’Ottocento dal matematico (e fisico-matematico) francese
Henri
Poincaré
(1854-1912). Si tratta del cosiddetto
convenzionalismo geometrico
.
Egli osserva significativamente: «Che cos’è una geometria? È lo studio di un gruppo di ope-
razioni formato dagli spostamenti cui si può sottoporre una figura senza deformarla. Nella
geometria euclidea questo gruppo si riduce alle
rotazioni
e alle
traslazioni
. Nella pseudogeo-
metria di Lobaˇcevskij è invece più complicato».
La tesi di Poincaré è che la verità della geometria euclidea è compatibile con quella della
geometria non euclidea di Lobaˇcevskij. L’idea base del suo convenzionalismo riposa pro-
prio su questo punto: si può scegliere, tra i gruppi possibili, il «gruppo particolare cui rap-
portare i fenomeni fisici» esattamente allo stesso modo in cui si possono scegliere «tre assi
di coordinate per rapportarvi una figura geometrica». Come non si può dire che un sistema
di coordinate (come quello cartesiano) è vero e un altro (come le coordinate polari) è fal-
so, così non si può dire che la geometria euclidea è vera e la geometria di Lobaˇcevskij falsa.
«Una geometria non può essere più vera di un’altra: può essere solo più comoda», scrive
Poincaré in
La scienza e l’ipotesi
(1902).
CONSEGUENZE TEORICHE DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
GEOMETRIE nOn
EUCLIDEE
• fine dell’identificazione tra certezza
di un sistema assiomatico
ed evidenza intuitiva
• crisi dei fondamenti
• fine dell’identificazione tra spazio
geometrico e spazio fisico
• teoria della compatibilità di
geometrie diverse (convenzionalismo)
PER SInTETIZZARE
• Qual è la prova della validità degli assiomi nel sistema euclideo?
• Qual è la tesi di Poincaré sul rapporto tra geometria e spazio fisico?
1.1.3 Gli sviluppi dell’algebra e la nascita della logica moderna
Con i progressi che si veri-
ficano in campo algebrico-geometrico, il metodo assiomatico in matematica acquista una
grande libertà: gli assiomi, non più vincolati a un fondamento basato sull’intuizione, sono
suscettibili di diverse interpretazioni, come si è visto nel caso di quelli geometrici.
Si fa sempre più strada, in questo modo, una distinzione tra l’aspetto “simbolico” o “sintat-
tico” e l’aspetto “interpretativo” o “semantico” delle
teorie matematiche
, una distinzione tra:
•
la
presentazione formale
, cioè la correttezza della struttura argomentativa di una teoria;
•
le possibili
interpretazioni
, cioè gli stati di cose a cui si può applicare una teoria.
La separazione degli aspetti sintattici da quelli semantici favorisce, d’altra parte, la possibi-
lità di stabilire nessi tra ambiti teorici diversi sulla base delle analogie strutturali tra gli uni
e gli altri che possono emergere, in tal modo, più facilmente.
Questo processo di progressiva separazione tra aspetti formali e interpretativi contraddistin-
gue in modo particolare gli sviluppi della
ricerca algebrica
nel corso dell’
Ottocento
. L’al-
Il convenzionalismo di
Poincaré
Non c’è una
geometria vera
Sintassi e semantica
Lo sviluppo in senso
astratto dell’algebra
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