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la meccanica newtoniana
Rappresentazione dello spazio percorso
nel grafico velocità-tempo
Nel grafico velocità
-
tempo, l’area del rettangolo definito dalla semiretta
delle velocità, dall’asse dei tempi e dalle perpendicolari all’asse dei tempi
passanti per
t
1
e per
t
2
(
Figura 26
) oppure per O e per
t
(
Figura 28
) ha un
significato fisico preciso. Infatti questo rettangolo ha i lati proporzionali a
v
e a
t
2
–
t
1
(oppure a
t
) e perciò la sua area risulta uguale al prodotto
v
(
t
2
–
t
1
)
(oppure a
v t
), ovvero allo spazio percorso.
Questa osservazione può essere estesa al caso ideale in cui il moto si svi-
luppi come sequenza di moti uniformi caratterizzati da diverse velocità che
si mantengono costanti in successivi intervalli di tempo:
t
2
–
t
1
,
t
3
–
t
2
, ...,
t
N
–
t
N
-
1
(
Figura 30
) e, più in generale, al caso in cui la velocità varia con
continuità.
Anche in questo caso (
Figura 31
), infatti, possiamo immaginare di co-
prire, con buona approssimazione, l’area sottostante la curva che rap-
presenta la dipendenza della velocità dal tempo con un grandissimo
numero di rettangoli, ciascuno dei quali corrisponde a un moto unifor-
me che si sviluppa con una propria velocità costante
v
i
per un piccolis-
simo intervallo di tempo
∆
t
.
t
v
O
v
1
v
2
v
4
v
3
v
6
v
5
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
t
6
t
7
Figura 30
Lo spazio percorso
nell’intervallo di tempo
t
7
–
t
1
è dato dalla somma delle aree
delle colonne corrispondenti ai
singoli intervalli di tempo:
2 1
3 2
4 3
1 2 1
2 3 2
3
−
−
−
=
−
=
−
=
(
)
(
)
(
4 3
4 5 4
5 6 5
5 4
6 5
7
−
=
−
=
−
−
−
−
)
(
)
(
)
6
6 7 6
=
−
(
)
s
v t t
t t
s
v t t
t t
t t
t t
t t
t t
s
v t
t
s
v t t
s
v t
t
s
v t
t
v
v
i
t
v
1
t
1
t
2
t t
t
t
Figura 31
L‘area sottostante la curva che
rappresenta la dipendenza funzionale
velocità-tempo è uguale allo spazio
percorso. Ciascuna colonna rappresenta
lo spazio percorso in un piccolo intervallo
di tempo
∆
t
a velocità costante
v
1
,
v
2
, ...
v
i
...
v
n
. D’altra parte l’insieme delle colonne
rappresenta con ottima approssimazione,
l’area sottostante la curva corrispondente
alla dipendenza funzionale velocità-tempo.
Conseguentemente, questa area misura
lo spazio percorso nell’intervallo di tempo
individuato dagli istanti
t
1
e
t
2
.
LABORATORIO
Moto uniforme
di sferette in
un liquido
molto viscoso
LABORATORIO
Moto uniforme
di un carrello
che si muove
su una rotaia a
trascinamento di
carta sensibile
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