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E16
ESERCIZI
Il ruolo della matematica nella fisica
2
Una cellula sferica di raggio
R
’ si divide originando
due nuove cellule identiche di raggio
R
.
(a) Che valore ha il fattore di scala?
(b) Qual è il rapporto tra l’area della superficie com-
plessiva delle due cellule figlie e quella della super-
ficie della cellula madre?
(c) Se
F
v
è il fattore di vitalità della cellula madre, qual
è il fattore di vitalità delle cellule figlie?
3
Due case quadrate di un unico piano hanno una
superficie rispettivamente di 100m
2
e 75m
2
. Qual è il
rapporto fra la lunghezza delle loro grondaie?
4
Due cartoni di succo di
frutta devono avere
la stessa
altezza
per ragioni di esteti-
ca e di altezza degli scaffali
nei supermercati. La loro
base è quadrata. Uno ha la
capacità di 1,5
l
, l’altro di
1,0
l
. Qual è il rapporto del
lato della loro base?
3
La superficie esterna di una bolla di sapone è la
metà di un’altra. Qual è il rapporto fra i volumi delle
bolle di sapone?
A
2
2/3
B
2
1
2
3
a k
C
2
3/2
D
8
PROBLEMI
FISICA & MEDICINA
5
In figura è mostrata una cel-
lula di forma sferica, in due dif-
ferenti stadi del suo sviluppo. Il
fattore di scala della cellula più
grande rispetto a quella più picco-
la è f=R’/R, dove R’ e R sono i
rispettivi raggi.
(a) L’ossigeno consumato da una cellula è propor-
zionale al materiale metabolico in essa contenuto, e
questo a sua volta è proporzionale al volume della
cellula. Di quale fattore è maggiore la quantità di os-
sigeno consumato (per unità di tempo) dalla cellula
più grande rispetto a quella più piccola?
D’altra parte, l’ossigeno di cui necessita una cellula
per il suo metabolismo penetra attraverso la parete
cellulare, per cui la quantità di ossigeno che una cel-
lula può assorbire è proporzionale all’area della pa-
rete cellulare.
(b) Di quale fattore è maggiore la quantità di ossige-
no assorbito nel medesimo tempo dalla cellula più
vecchia rispetto a quella più giovane?
Il rapporto tra la quantità di ossigeno che una cellula
può assorbire e la quantità di ossigeno di cui necessi-
ta viene definito
fattore di vitalità
(
F
v
). È evidente
che, per la sua sopravvivenza, il fattore di vitalità di
una cellula deve essere maggiore di 1.
(c) Qual è il rapporto tra il fattore di vitalità della cel-
lula più vecchia e di quella più giovane? Il valore di
questo fattore di vitalità spiega perché la cellula a un
certo punto si divide in due?
FISICA & MEDICINA
1
Un gatto di 3,0 kg ha
una coda lunga 30,0 cm.
Quanto vale il fattore di
scala fra questo gatto e un
altro della stessa razza di
5,0 kg? Quanto sarà lunga
la sua coda?
FISICA & MEDICINA
Fra le dimensioni geometriche de-
gli organi di una struttura biologica
e le sue funzioni possono esistere
relazioni che derivano dal cam-
biamento di scala delle dimensioni
degli organi stessi. Un esempio si-
gnificativo serve a illustrare questo
concetto.
Consideriamo un adulto di altezza
L
A
e un bambino
di altezza
L
B
=
L
A
/
2
. Dovendo somministrare lo stesso
farmaco a entrambi, in quale rapporto dovranno sta-
re le rispettive dosi?
Il fattore di scala in questo caso si definisce come
f
=
L
A
/
L
B
=2. La dose di farmaco somministrabile
a una persona è generalmente proporzionale alla
quantità del suo sangue e quindi, approssimativa-
mente, al suo volume. Cioè:
dose adulto=
V
A
dose bambino=
V
B
Il rapporto tra la dose da somministrare all’adulto e
al bambino sarà quindi:
V
V
L
L
f
A
B
A
B
=
= =
3
3
8
Al bambino bisogna dare una dose di farmaco 8 volte
minore di quella che viene data all’adulto.
T
U
T
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