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E12
Lezione 4
pagina
36
I cambiamenti di scala
• Per le lunghezze:
l’ = f l
• per le superfici:
S’ = f
2
S
• per i volumi:
V’= f
3
V
Nel grafico qui riportato si vede
come divergono le linee che rap-
presentano
x
,
x
2
e
x
3
.
Quando paragoni due cubi di lati
diversi, per esempio 3 cm e 6
cm, i loro lati hanno un rappor-
to 1/2. Le loro superfici esterne
valgono rispettivamente 54 cm
2
e 216 cm
2
, in un rapporto 1/4. I
loro volumi, 27 cm
3
e 216 cm
3
,
hanno un rapporto 1/8. Quin-
di le proporzioni dirette non si
mantengono costanti per lati,
aree e volumi.
5
Ripeti il calcolo precedente per due cubi di lati 5
cm e 10 cm. Quale sarà la proporzione fra le loro aree
esterne e fra i loro volumi?
6
In che rapporto stanno le superfici esterne e i vo-
lumi di due sfere di raggio 7 cm e 14 cm?
Lezione 5
pagina
38
Due importanti operazioni
matematiche: la derivata e l’integrale
Le funzioni di primo e secondo grado si prestano a
strategie semplici per calcolare la derivata (pendenza)
e l’integrale (area sotto il
grafico) per intervalli finiti
e ben determinati. Pren-
diamo in esame il caso di
un’auto che percorre un
tratto di strada alla velocità
costante di 90 km/h (pari
a 25 m/s) per 15 minuti.
Il grafico velocità-tempo si
presenta come una linea retta orizzontale di quota 25
m/s. Lo spazio percorso vale
s
= 25 m/s · 15 min · 60 s/min
s
= 22.500 m = 22,5 km.
Quindi lo spazio percorso è l’area sotto il grafico velo-
cità tempo, che matematicamente è equivalente all’in-
tegrale della funzione
v = f(t)
. L’accelerazione è nulla,
infatti puoi notare che la retta ha una pendenza nulla.
vettore di
modulo
v
v
v
v
x
v
y
30°
v
v
x
v
y
45°
v
v
x
v
y
60°
v
90°
v
v
x
v
y
120°
v
v
x
v
y
135°
v
v
x
v
y
150°
v
180°
angolo
θ
con
l’orizzonte
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
sen
θ
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0
cos
θ
1
2
3
2
2
2
1
0
2
1–
2
2 –
2
3 –
– 1
v
x
0
v
2
1
v
2
2
v
2
3
v
v
2
3
v
2
2
v
2
1
0
v
y
v
v
2
3
v
2
2
v
2
1
0
v
2
1–
v
2
2 –
v
2
3 –
–
v
x
y
9
8
7
6
5
4
3
2
0 1 2
1
y
=
x
3
y
=
x
2
y
=
x
t
(
s
)
v
(
m/s
)
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