Basic HTML Version
5
La somma delle diagonali di un rombo, l’area della cui superficie e` di 60 dm
2
, misura 14 dm; troviamo le misure
delle diagonali del rombo.
Ricordando che l’area di un rombo e` data dal semiprodotto delle misure delle diagonali, dovremo concludere
che il prodotto delle misure delle diagonali del rombo in esame e` 120 dm
2
; per risolvere il problema proposto
dovremo quindi trovare due numeri il cui prodotto e` 120 e la cui somma e` 14; tali numeri rappresentano le mi-
sure, in decimetri, delle diagonali del rombo.
Essi saranno le soluzioni dell’equazione:
x
2
14
x
þ
120
¼
0
:
Ma l’equazione scritta ha il discriminante negativo e quindi non ha soluzioni reali; il problema geometrico pro-
posto e` quindi impossibile, cioe` non ha soluzioni.
8.
LA REGOLA DI CARTESIO
Se un’equazione di 2 grado ha il discriminante positivo o nullo, e pertanto ammette radici reali, si possono
determinare i segni di queste radici senza risolvere l’equazione, ma semplicemente esaminando i segni dei
coefficienti.
Illustriamo questo metodo prendendo in considerazione tutti i casi che si possono presentare per
quanto riguarda i segni dei coefficienti.
Premettiamo, per snellire il linguaggio, che in un polinomio ordinato secondo le potenze di una lette-
ra, il susseguirsi di due coefficienti concordi (cioe` di ugual segno) si chiama
permanenza
, mentre il
susseguirsi di due coefficienti discordi (cioe` di segno opposto) si chiama
variazione
.
Notiamo poi che in un’equazione di 2 grado possiamo sempre supporre che il coefficiente
a
del ter-
mine di 2 grado sia positivo, perche´ , se non lo fosse, si potrebbero cambiare tutti i segni dei coeffi-
cienti rendendo cosı` positivo il coefficiente
a
(osserviamo che questa operazione non altera le perma-
nenze e le variazioni che l’equazione presenta).
Nella tabella seguente sono indicati i quattro diversi casi che si possono presentare.
a
b
c
Numero variazioni
Numero permanenze
1 caso
þ
þ
þ
0
2
2 caso
þ
þ
2
0
3 caso
þ
1
1
4 caso
þ
þ
1
1
I segni delle radici di un’equazione di 2 grado sono legati alle permanenze e alle variazioni dei segni
dei coefficienti secondo quanto enunciato nel seguente teorema, detto
regola di Cartesio
.
Un’equazione di 2 grado, con discriminante non negativo, ha tante radici positive quante sono le
sue variazioni e tante negative quante sono le permanenze; se le radici sono di segno opposto e`
maggiore in valore assoluto quella positiva se la variazione precede la permanenza, e` maggiore in
valore assoluto quella negativa se la permanenza precede la variazione.
Per la dimostrazione procediamo all’esame dei vari casi. Ricordiamo che:
x
1
x
2
¼
c
a
e
x
1
þ
x
2
¼
b
a
:
18
Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari