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Se nell’equazione
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
0 dividiamo per
a
tutti i termini (ricordiamo che tale operazione e`
possibile perche´
a
e` sempre supposto diverso da zero), otteniamo:
x
2
þ
b
a
x
þ
c
a
¼
0
:
Vediamo quindi che:
In un’equazione di 2 grado avente uguale a 1 il coefficiente del termine di 2 grado e 0, il
coefficiente del termine di 1 grado rappresenta la somma delle radici cambiata di segno mentre
il termine noto rappresenta il loro prodotto.
Indicando con
s
la somma delle radici e con
p
il loro prodotto, ponendo cioe` :
s
¼
x
1
þ
x
2
e
p
¼
x
1
x
2
l’equazione precedente assume la forma:
x
2
sx
þ
p
¼
0
.
Le trovate relazioni tra i coefficienti e le radici di un’equazione di 2 grado permettono di risolvere
vari tipi di problemi; ne riportiamo ora qualche esempio e ritorneremo poi sull’argomento nei prossi-
mi paragrafi, trattando della regola di Cartesio e della scomposizione di un trinomio di 2 grado.
esempi
2
Troviamo l’equazione di 2 grado le cui soluzioni sono 5 e
1
2
:
Poiche´ :
s
¼
x
1
þ
x
2
¼
5
þ
1
2
¼
9
2
e
p
¼
x
1
x
2
¼
5
1
2
¼
5
2
l’equazione richiesta sara` :
x
2
þ
9
2
x
5
2
¼
0
cioe` :
2
x
2
þ
9
x
5
¼
0.
3
Troviamo due numeri la cui somma sia 9 e il cui prodotto sia 16.
I due numeri richiesti saranno le radici dell’equazione:
x
2
þ
9
x
þ
16
¼
0
che risolta da` :
x
1
¼
9
ffiffiffiffi
17
p
2
e
x
2
¼
9
þ
ffiffiffiffi
17
p
2
:
Questi sono i numeri che danno per somma 9 e per prodotto 16.
4
Il perimetro di un rettangolo misura 60 cm mentre l’area della sua superficie e` di 216 cm
2
.
Troviamo le misure delle dimensioni del rettangolo.
Poiche´ il perimetro del rettangolo misura 60 cm, la somma delle due dimensioni e` di 30 cm; dobbiamo quindi
trovare due numeri la cui somma sia 30 e il cui prodotto sia 216; questi due numeri rappresentano le misure,
in centimetri, delle due dimensioni; essi sono le radici dell’equazione:
x
2
30
x
þ
216
¼
0
e quindi sono 12 e 18.
Le misure dei lati del rettangolo sono pertanto rispettivamente di 12 cm e di 18 cm.
Unita` 1
Equazioni di grado superiore al 1
o
17