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1 caso
Poiche´
a
e
c
sono concordi, il prodotto delle radici
c
a
e` positivo e quindi le radici o sono entrambe
positive o entrambe negative; poiche´ anche
a
e
b
sono concordi la somma delle radici
b
a
e` negativa
e quindi possiamo concludere che le radici sono entrambe negative.
2 caso
Poiche´
a
e
c
sono ancora concordi, il prodotto delle radici e` ancora positivo e pertanto le radici sono
di ugual segno; poiche´
a
e
b
sono discordi la somma delle radici
b
a
e` un numero positivo e pertan-
to le radici devono essere entrambe positive.
3 caso
Essendo
a
e
c
discordi, il prodotto delle radici
c
a
e` negativo e quindi le radici sono discordi e pertan-
to una positiva e l’altra negativa; poiche´
a
e
b
sono discordi la somma delle radici
b
a
e` positiva e
pertanto tra le due radici e` maggiore in valore assoluto quella positiva.
4 caso
Essendo ancora
a
e
c
discordi, il prodotto delle radici
c
a
e` ancora negativo e pertanto le radici sono
discordi, cioe` una positiva e l’altra negativa; poiche´
a
e
b
sono concordi, la somma delle radici
b
a
e`
negativa e quindi e` maggiore in valore assoluto la radice negativa.
Nella tabella seguente e` riassunta la regola di Cartesio (ripetiamo che essa e` valida solo se 0
Þ
.
a
b
c
b
a
¼
x
1
þ
x
2
c
a
¼
x
1
x
2
x
1
x
2
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
x
1
j j
<
x
2
j j
ð
Þ
þ
þ
þ
x
1
j j
>
x
2
j j
ð
Þ
esempi
1
Stabiliamo i segni delle radici dell’equazione:
2
x
2
þ
x
5
¼
0
:
Notiamo innanzi tutto che un’equazione avente una permanenza e una variazione ha sempre il discriminante
positivo e quindi sempre radici reali; dette radici sono una positiva e una negativa. Nel nostro caso e` maggio-
re in valore assoluto quella negativa poiche´ la permanenza precede la variazione.
2
Stabiliamo i segni delle radici dell’equazione:
x
2
6
x
þ
1
¼
0
:
L’equazione ha il discriminante positivo e due variazioni, percio` le sue radici sono entrambe positive.
3
Stabiliamo il segno delle radici dell’equazione:
6
x
2
7
x
1
¼
0
:
L’equazione ha una variazione e una permanenza (e quindi necessariamente discriminante positivo) e percio`
due radici reali discordi; e` maggiore in valore assoluto quella positiva perche´ la variazione precede la perma-
nenza.
Unita` 1
Equazioni di grado superiore al 1
o
19