Basic HTML Version
7.
RELAZIONI CHE INTERCORRONO TRA LE RADICI DI
UN’EQUAZIONE DI 2
o
GRADO E I SUOI COEFFICIENTI
Ricordiamo che l’equazione
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
0 ha, nel caso il discriminante non sia negativo, le due radici:
x
1
¼
b
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
4
ac
p
2
a
e
x
2
¼
b
þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
4
ac
p
2
a
:
Vogliamo ora trovare il valore della somma e del prodotto di queste radici. Calcoliamo la somma:
x
1
þ
x
2
¼
b
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
4
ac
p
2
a
þ
b
þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
4
ac
p
2
a
¼
b
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
4
ac
p
b
þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
4
ac
p
2
a
¼
2
b
2
a
¼
b
a
:
Calcoliamo il prodotto:
x
1
x
2
¼
b
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
4
ac
p
2
a
b
þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
4
ac
p
2
a
¼
b
2
ð
b
2
4
ac
Þ
4
a
2
¼
4
ac
4
a
2
¼
c
a
:
Esaminando questi risultati possiamo concludere che:
n
la somma delle radici di un’equazione di 2 grado e` uguale al rapporto, cambiato di segno, tra il
coefficiente del termine di 1 grado e quello del termine di 2 grado;
n
il prodotto delle radici e` uguale al rapporto tra il termine noto e il coefficiente del termine di 2
grado.
Valgono cioe` le seguenti relazioni:
x
1
þ
x
2
¼
b
a
e
x
1
x
2
¼
c
a
.
esempi
1
Verifichiamo l’esistenza delle suddette relazioni tra le radici e i coefficienti dell’equazione:
2
x
2
3
x
1
¼
0
:
Dovrebbe essere:
x
1
þ
x
2
¼
b
a
¼
3
2
e
x
1
x
2
¼
c
a
¼
1
2
:
Dopo aver constatato che
>
0, risolviamo l’equazione e verifichiamo se veramente la somma e il prodotto
delle radici danno questi risultati:
x
¼
3
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
9
þ
8
p
4
¼
3
ffiffiffiffi
17
p
4
quindi:
x
1
¼
3
ffiffiffiffi
17
p
4
e
x
2
¼
3
þ
ffiffiffiffi
17
p
4
:
Calcolando ora la somma e il prodotto, otteniamo:
x
1
þ
x
2
¼
3
ffiffiffiffi
17
p
4
þ
3
þ
ffiffiffiffi
17
p
4
¼
3
ffiffiffiffi
17
p þ
3
þ
ffiffiffiffi
17
p
4
¼
6
4
¼
3
2
x
1
x
2
¼
3
ffiffiffiffi
17
p
4
3
þ
ffiffiffiffi
17
p
4
¼
9 17
16
¼
8
16
¼
1
2
:
16
Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari