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6.
RISOLUZIONE GRAFICA DI UN’EQUAZIONE DI 2
o
GRADO
La determinazione delle radici dell’equazione di 2 grado:
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
0
puo` essere ricondotta alla ricerca degli
zeri
della funzione:
y
¼
ax
2
þ
bx
þ
c
cioe` alla ricerca delle ascisse degli eventuali punti di intersezione del grafico della funzione con l’asse
x
di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Questi punti sono infatti i punti di detto grafico
per i quali risulta nulla l’ordinata
y
.
Vedremo meglio nel paragrafo di approfondimento successivo che il grafico della funzione
y
¼
ax
2
þ
bx
þ
c
e` una curva, denominata
parabola
, rivolta verso l’alto se
a
>
0 e verso il basso se
a
<
0, avente un asse di simmetria parallelo all’asse
y
. A seconda inoltre del valore del discriminante
possono presentarsi tre diverse situazioni come risulta dalla figura 1.
Δ
> 0
Δ
= 0
Δ
< 0
a > 0
x
1
x
2
y
x
x
1
x
2
a)
b)
Δ
> 0
Δ
= 0
Δ
< 0
a < 0
y
x
x
1
x
2
x
1
x
2
Figura 1. a)
Se il coefficiente
a
dell’equazione della parabola e` positivo, la parabola rivolge la concavita` verso l’alto;
b)
se e` negativo, la parabola rivolge la concavita` verso il basso.
In ogni caso, comunque, la parabola interseca l’asse
x
in due punti distinti se e`
>
0; e` tangente all’asse
x
se e`
¼
0; non ha punti comuni con l’asse
x
se e`
<
0.
esempi
1
Interpretiamo graficamente la risoluzione delle equazioni:
a)
x
2
3
x
þ
2
¼
0;
b)
x
2
þ
4
x
4
¼
0;
c)
x
2
þ
3
x
þ
5
¼
0.
a)
L’equazione
x
2
3
x
þ
2
¼
0, in cui
¼
1
>
0, ha per soluzioni
x
1
¼
1,
x
2
¼
2.
Rappresentiamo graficamente la parabola di equazione
y
¼
x
2
3
x
þ
2 e verifichiamo che tali valori rappre-
sentano le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l’asse
x
(
zeri
della funzione).
Unita` 1
Equazioni di grado superiore al 1
o
13