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5.
EQUAZIONI LETTERALI. EQUAZIONI FRATTE
Per le equazioni letterali e le equazioni fratte (numeriche o letterali) valgono le considerazioni svolte in
precedenza. Ricordiamo che e` necessario discutere l’accettabilita` delle loro soluzioni; ricordiamo, inoltre,
che nelle equazioni letterali (o parametriche) le soluzioni variano al variare dei valori attribuiti alle lettere
(parametri) che compaiono nell’equazione. Riportiamo alcuni esempi.
esempi
1
Risolviamo l’equazione:
x
2
2
ax
þ
10
x
þ
a
2
10
a
þ
21
¼
0
equivalente a:
x
2
2
a
5
ð
Þ
x
þ
a
2
10
a
þ
21
¼
0
:
Applicando la formula ridotta otteniamo:
x
¼
a
5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð
a
5
Þ
2
ð
a
2
10
a
þ
21
Þ
q
¼
a
5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
10
a
þ
25
a
2
þ
10
a
21
p
¼
a
5
ffiffi
4
p
quindi:
x
1
¼
a
7,
x
2
¼
a
3
:
2
Risolviamo l’equazione intera letterale:
a
þ
1
ð
Þ
x
2
3
ax
þ
2
a
1
¼
0
:
Se
a
þ
1
¼
0, cioe`
a
¼
1 l’equazione diventa:
3
x
3
¼
0 (equazione di 1 grado)
e ha l’unica soluzione:
x
¼
1 (*).
Se
a
þ
1
6
¼
0, cioe`
a
6
¼
1, applicando la formula risolutiva otteniamo:
x
¼
3
a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
9
a
2
4
ð
a
þ
1
Þ ð
2
a
1
Þ
p
2
ð
a
þ
1
Þ
¼
3
a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
4
a
þ
4
p
2
ð
a
þ
1
Þ
¼
3
a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð
a
2
Þ
2
q
2
ð
a
þ
1
Þ ¼
3
a
ð
a
2
Þ
2
ð
a
þ
1
Þ
quindi:
x
1
¼
1,
x
2
¼
2
a
1
a
þ
1
(radici reali, distinte per
a
6
¼
2 e coincidenti per
a
¼
2
Þ
.
3
Risolviamo l’equazione fratta:
x
x
þ
1
þ
1
x
1
¼
2
x
2
x
x
2
1
:
Il m.c.d. e`
x
þ
1
ð
Þ
x
1
ð
Þ
. Riduciamo l’equazione a forma intera, eliminando pero` dall’insieme dei valori che
l’incognita
x
puo` assumere i valori 1 e
þ
1 che annullano il m.c.d.:
x
2
x
þ
x
þ
1
¼
2
x
2
x
:
Riducendo alla forma normale e applicando poi la formula risolutiva, otteniamo:
x
2
x
1
¼
0
x
¼
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
þ
4
p
2
¼
1
ffiffi
5
p
2
quindi:
x
1
¼
1
ffiffi
5
p
2
e
x
2
¼
1
þ
ffiffi
5
p
2
(radici reali distinte accettabili).
(*) Si dice anche, in altri contesti, che l’equazione ammette due soluzioni, cioe`
x
¼
1 e una soluzione ‘‘all’infinito’’.
12
Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari