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Forma normale e grado di una equazione
Trasportando tutti i termini del secondo membro di un’equazione al primo membro (mediante il pri-
mo principio di equivalenza) otteniamo un’equazione del tipo:
P
ð
x
Þ ¼
0
dove
P
ð
x
Þ
rappresenta un’espressione algebrica, nella variabile
x
che compare al primo membro. Ta-
le forma viene detta
normale
o
standard
.
Il
grado di un’equazione intera
e` quello del polinomio
P
ð
x
Þ
una volta che l’equazione sia stata
espressa in forma normale.
2.
FORMA TIPICA DELL’EQUAZIONE DI 2
o
GRADO
Notiamo innanzi tutto che, applicando il primo principio di equivalenza, tutti i termini di un’equazione
intera in una sola incognita possono venir trasportati in uno stesso membro. Si dice in tal caso che l’equa-
zione viene ridotta a forma normale e si definisce
grado
dell’equazione il massimo grado con cui l’inco-
gnita compare nell’equazione stessa. Ogni equazione di 2 grado contenente una sola incognita (che in-
dichiamo con la lettera
x
Þ
potra` pertanto essere scritta sotto la cosiddetta
forma normale
o
tipica
:
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
0
dove
a
,
b
,
c
rappresentano quantita` note, dette coefficienti;
c
viene anche chiamato
termine noto
.
Se i coefficienti
a
,
b
,
c
sono numeri, l’equa-
zione si dice
numerica
, se invece sono lettere
o espressioni letterali note l’equazione si dice
letterale
(o
parametrica
).
Dei tre coefficienti di un’equazione di 2 gra-
do il primo, cioe`
a
, sara` da noi supposto sem-
pre diverso da zero, poiche´ in caso contrario
l’equazione si ridurrebbe ad una di 1 grado;
gli altri due, cioe`
b
e
c
, potranno invece esse-
re nulli.
Un’equazione che abbia i tre coefficienti non
nulli si dice
completa
, in caso contrario si dice
incompleta
.
COMPETENZA: LINGUAGGIO
Tipi di equazioni
In corrispondenza dei diversi valori assunti dai coeffi-
cienti
a
,
b
e
c
l’equazione di 2 grado:
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
0
viene indicata con nomi diversi e precisamente:
se
a
6
¼
0,
b
6
¼
0,
c
6
¼
0 l’equazione si dice
completa
;
se
a
6
¼
0,
b
¼
0,
c
6
¼
0 l’equazione si dice
pura
;
se
a
6
¼
0,
b
6
¼
0,
c
¼
0 l’equazione si dice
spuria
.
Nei prossimi paragrafi ci occuperemo della risoluzione di un’equazione di 2 grado, cioe` della ricerca
delle sue soluzioni (o radici).
3.
RISOLUZIONE DI EQUAZIONI DI 2
o
GRADO INCOMPLETE
Possono presentarsi tre diversi casi di equazioni incomplete e precisamente:
1 caso:
c
¼
0 e
b
6
¼
0 cioe`
ax
2
þ
bx
¼
0
2 caso:
b
¼
0 e
c
6
¼
0 cioe`
ax
2
þ
c
¼
0
3 caso:
b
¼
0 e
c
¼
0 cioe`
ax
2
¼
0.
n
1 caso.
La risoluzione dell’equazione e` gia` stata affrontata; infatti, l’equazione
ax
2
þ
bx
¼
0 puo` ,
mediante il raccoglimento del fattore comune
x
e poi mediante la legge di annullamento del prodot-
to, essere ricondotta a due equazioni di 1 grado. Procediamo quindi cosı`:
ax
2
þ
bx
¼
0
x ax
þ
b
ð
Þ ¼
0
:
Unita` 1
Equazioni di grado superiore al 1
o
7