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Questa uguaglianza e` soddisfatta per:
x
¼
0 e per
ax
þ
b
¼
0
cioe` per:
x
¼
0 e per
x
¼
b
a
:
Concludiamo allora dicendo che:
l’equazione
ax
2
þ
bx
¼
0 ammette sempre le due radici reali:
x
1
¼
0
,
x
2
¼
b
a
.
esempi
1
Risolviamo l’equazione:
4
x
2
5
x
¼
0
:
Avremo:
x
4
x
5
ð
Þ ¼
0 da cui:
x
¼
0 e 4
x
5
¼
0
e quindi:
x
1
¼
0 e
x
2
¼
5
4
.
2
Risolviamo l’equazione
x
þ
1
ð
Þ
2
¼
1
x
.
Eseguendo le operazioni indicate e riducendo poi a forma normale avremo:
x
2
þ
2
x
þ
1
¼
1
x x
2
þ
3
x
¼
0
x x
þ
3
ð
Þ ¼
0 da cui:
x
1
¼
0
e x
2
¼
3
:
n
2 caso.
L’equazione
ax
2
þ
c
¼
0 e` equivalente all’equazione:
x
2
¼
c
a
:
Ricercare le radici di quest’ultima equivale a ricercare i numeri che, elevati al quadrato, danno
c
a
;
si possono allora distinguere due casi:
– se
a
e
c
sono discordi (cioe` di segno opposto),
c
a
e` un numero positivo; l’equazione ammette
quindi due radici reali e precisamente:
x
1
¼þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
c
a
r
e
x
2
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
c
a
r
;
– se invece
a
e
c
sono concordi (cioe` di uguale segno),
c
a
e` un numero negativo e quindi l’equazio-
ne non ha radici reali (poiche´ nessun numero reale elevato al quadrato da` un numero negativo).
esempi
3
Risolviamo l’equazione:
3
x
2
2
¼
0
:
Avremo:
x
2
¼
2
3
quindi:
x
1
¼ þ
ffiffiffiffi
2
3
r
e
x
2
¼
ffiffiffiffi
2
3
r
:
4
Risolviamo l’equazione:
8
x
2
þ
5
¼
0
:
Avremo:
x
2
¼
5
8
quindi nessuna soluzione reale.
8
Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari