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Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari
Definizione
Esempi
Equazione
numerica
: non vi compaiono altre lettere oltre l’incognita. In
caso contrario si dice
letterale
.
a)
x
2
þ
3
x
þ
2
¼
0 e`
numerica intera.
b)
x
2
3
x
1
¼
5 e`
razionale fratta
.
c)
3
ffiffiffi
x
p
2
¼
x
þ
1 e`
irrazionale
.
d)
a
2
x
¼
3
a
2
b
e`
letterale.
Equazione
razionale
: entrambi i suoi membri sono espressioni razionali
rispetto all’incognita, cioe` l’incognita compare solo in operazioni di ad-
dizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenza a esponente in-
tero. In caso contrario si dice
irrazionale
.
Equazione
intera
: entrambi i suoi membri sono interi rispetto all’incogni-
ta. In caso contrario si dice
fratta
.
L’insieme numerico nel quale si cercano le soluzioni di un’equazione e` detto
dominio
o
insieme di
definizione
dell’equazione.
Soluzione
di una equazione
numerica
: ogni valore numerico che, attri-
buito all’incognita, soddisfa l’uguaglianza.
a)
x
¼
1 e` soluzione dell’equazione
x
2
þ
3
x
þ
2
¼
0
;
Soluzione
di una equazione
letterale
: ogni espressione numerica o let-
terale che, sostituita all’incognita, trasforma l’equazione in un’identita` ,
senza far perdere significato alle espressioni che compaiono ai due
membri dell’equazione.
b)
3
b
e` soluzione dell’equazione
a
2
x
¼
3
a
2
b
:
Due equazioni, nelle stesse incognite e aventi lo stesso dominio, sono dette
equivalenti
quando
tutte le soluzioni dell’una sono anche soluzioni dell’altra, e viceversa; cioe` quando l’insieme delle
soluzioni dell’una coincide con l’insieme delle soluzioni dell’altra.
Principi di equivalenza
Rivediamo ora, tralasciando le dimostrazioni, i due principi che permettono di trasformare le equa-
zioni in altre ad esse equivalenti, piu` semplici, e quindi piu` facilmente risolvibili.
Principio
Esempi
1
o
principio di equivalenza
Addizionando
o
sottraendo
ad entrambi i membri di
un’equazione uno stesso numero, o una stessa
espressione letterale che si possa calcolare, cioe` che
non perda di significato, per ogni valore delle lettere
che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente
alla data.
L’equazione:
3
x
2
4
x
8
¼
5
x
2
e` equivalente alle seguenti altre due:
3
x
2
4
x
8
þ
10
¼
5
x
2
þ
10
3
x
2
4
x
8
þ
4x
þ
1
¼
5
x
2
þ
4x
þ
1
ottenute entrambe dall’equazione data, aggiungendo
ai suoi due membri il numero 10 nel primo caso e l’e-
spressione 4
x
þ
1 nel secondo.
1
o
principio di equivalenza
Moltiplicando
o
dividendo
entrambi i membri di un’e-
quazione per uno stesso numero diverso da zero, o
una stessa espressione letterale che si possa calcola-
re per ogni valore delle lettere e che non si annulli
mai, si ottiene un’equazione equivalente alla data.
L’equazione:
x
2
3
þ
1
¼
x
þ
1
2
e` equivalente all’equazione:
2
ð
x
2
Þ þ
6
¼
3
ð
x
þ
1
Þ
ottenuta moltiplicando entrambi i suoi membri per 6.