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PrOBLEMA
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Una gru a torre
Fra i vari tipi di gru per l’edilizia vi è la gru a torre senza
cuspide, nella quale il braccio che solleva i carichi e il
braccio che sostiene i contrappesi sono fissati sulla som-
mità della torre, privi di tiranti.
La torre di una di queste gru è larga 4,0 m, il braccio è
lungo 52 m e ha una massa di 4000 kg. Il braccio dei con-
trappesi è lungo invece 10 m e ha una massa di 2000 kg.
All’estremità di quest’ultimo sono alloggiati i contrappe-
si, di massa complessiva uguale a 14 000 kg.
Se un carico di 1100 kg viene sospeso all’estremità del
braccio di sollevamento, la gru è bilanciata?
Analisi della situazione fisica
Assumiamo per semplicità che la massa dei bracci della
gru sia distribuita in maniera omogenea sulla lunghezza
e quindi il baricentro di ciascun braccio coincida con il
puntomediano. Assumiamo, inoltre, che l’insieme dei con-
trappesi sia un oggetto puntiforme localizzato all’estremi-
tà del braccio corto e che puntiforme, in cima al braccio
lungo, sia pure il sistema di sospensione del carico.
Indichiamo con
m
1
ed
L
1
, rispettivamente, la massa e la
lunghezza del braccio più corto e con
m
2
ed
L
2
la massa
e la lunghezza del braccio più lungo. Con
m
3
ed
m
4
con-
trassegniamo poi la massa complessiva dei contrappesi
e la massa del carico.
La figura mostra il diagramma di corpo libero dei due
bracci. Il punto di applicazione del peso del braccio corto,
P
→
1
=
m
1
g
→
, dista
L
1
/2 dall’asse della torre, mentre il punto
di applicazione del peso del braccio lungo,
P
→
2
=
m
2
g
→
, dista
L
2
/2. Il peso
P
→
3
=
m
3
g
→
dei contrappesi è applicato invece
a distanza
L
1
e il peso
P
→
4
=
m
4
g
→
del carico è applicato a
distanza
L
2
.
La reazione della torre, per poter equilibrare questi pesi,
deve essere una forza orientata verticalmente verso l’al-
to, di intensità uguale alla somma dei pesi. Indichiamo
con
E
→
tale forza equilibrante. Essa in realtà è distribuita
su tutti i punti di contatto della torre con i bracci, ma
può considerarsi applicata in un unico punto
O
.
Imponendo che i bracci della gru siano in equilibrio rispet-
to alla rotazione, cioè che il momento risultante delle
forze applicate calcolato rispetto a un punto arbitrario sia
nullo, si determina la distanza
x
di
O
dall’asse della torre.
Potremo affermare che la gru è veramente in equilibrio se
otterremo che è
x
≤
d
/2, con
d
larghezza della torre.
soluzione
Calcolando rispetto al punto
O
il momento risultante delle forze applicate e imponendo che il suo modulo sia
nullo, otteniamo la seguente equazione:
2
2
3 1
1
1
2
2
4 2
P L
x
P
L
x
P
L
x
P L
x
(
)
(
)
(
)
(
)
+ + + = − + −
o anche
2
2
3 1
1
1
2
2
4 2
m L
x
m
L
x
m
L
x
m L
x
(
)
(
)
(
)
(
)
+ + + = − + −
Come si vede dal diagramma, abbiamo posto arbitrariamente
O
a destra dell’asse di simmetria della torre. Se dai
calcoli risultasse un valore di
x
negativo, ciò significherebbe che in realtà
O
si trova a sinistra.
Dall’equazione precedente otteniamo:
2 (
m
1
+
m
2
+
m
3
+
m
4
)
x
=
(
m
2
+
2
m
4
)
L
2
−
(
m
1
+
2
m
3
)
L
1
(
2 )
(
2 )
2 (
)
4000 kg 2 1100 kg 52m 2000 kg 2 14000 kg 10m
2 2000 4000 14000 1100 kg
0,53 m
2
4 2
1
3 1
1
2
3
4
x
m m L m m L
m m m m
(
)
[
](
)
(
)
[
](
)
(
)
=
+ − +
+ + + =
+
−
+
+ + +
=
=
Poiché è
x
> 0, il punto
O
è effettivamente localizzato a destra dell’asse di simmetria della torre. Inoltre, essendo
d
/2
=
2,0 m, e quindi
x
≤
d
/2, la gru è in equilibrio.
Impara la strategia
Per studiare l’equilibrio di un corpo, traccia anzitutto il
suo diagramma di corpo libero. Ricorda di includere nel
diagramma tutte le forze che agiscono sul corpo, siano
esse note o incognite, comprese le forze vincolari. Prima
di iniziare i calcoli, stabilisci in base a considerazioni fisi-
che le direzioni, i versi e i punti di applicazione delle forze.
La condizione per l’equilibrio rotazionale di un corpo
rigido è che il momento risultante di tutte le forze rispet-
to a un punto arbitrario sia nullo. Per imporre questa
condizione scegli un punto che ti semplifichi i calcoli: il
punto per il quale passano le rette di azione del maggior
numero di forze è una buona scelta, perché tutte quelle
forze hanno, rispetto a tale punto, momento nullo.
Dati e incognite
d
=
4,0 m
L
1
=
10 m
L
2
=
52 m
m
1
=
2000 kg
m
2
=
4000 kg
m
3
=
14 000 kg
m
4
=
1100 kg
x
=
?
L
2
2
—
L
1
2
—
P
1
E
P
3
P
2
P
4
L
2
L
1
d
O
x
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