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PrOBLEMA
3
caccia grossa
Al luna park Luisa punta un orso di peluche con un
fucile sparatappi. L’orso poggia su una mensola, a un’al-
tezza di 3,40 m e a una distanza orizzontale di 4,00 m
dalla bocca del fucile, ma cade fortuitamente nel preciso
istante in cui parte il colpo. Dato che il colpo va comun-
que a segno, di quale angolo Luisa ha tenuto inclinato
il fucile rispetto alla direzione orizzontale? Se il tappo
proiettile è sparato con una velocità pari a 6,50 m/s, a
quale altezza avviene l’impatto con il bersaglio?
Analisi della situazione fisica
Indichiamo con
h
l’altezza e con
d
la distanza orizzon-
tale del peluche dal punto
O
da cui, nell’istante
t
0
=
0,
è sparato il tappo. L’istante
t
0
è anche quello in cui il
bersaglio, partendo da fermo, comincia il suo moto di
caduta. Trascurando gli effetti dell’aria, l’altezza
y
b
del
bersaglio, rispetto al sistema cartesiano
Oxy
indicato in
figura e in ogni istante
t
successivo a
t
0
, è:
y h g t
b
= −
1
2
2
Nello stesso istante
t
le coordinate
x
p
e
y
p
del tappo
proiettile sono:
x
p
=
v
0
x
t
y v t
g t
p
= −
0
y
1
2
2
in cui
v
0
x
e
v
0
y
sono le componenti cartesiane della velo-
cità iniziale
v
→
0
del proiettile.
Per andare a segno, il proiettile deve trovarsi, dopo il
tempo
t
=
d
/
v
0
x
impiegato a percorrere la distanza oriz-
zontale
d
, alla stessa altezza del bersaglio. Dobbiamo
quindi imporre che
y
b
e
y
p
siano uguali per
t
=
d
/
v
0
x
:
h g
d
v
v
d
v
g
d
v
x
y
x
x
−
= −
1
2
1
2
0
2
0
0
0
2
da cui
v
v
h
d
0
0
y
x
=
Il rapporto
v
0
y
/
v
0
x
fra le componenti cartesiane di
v
→
0
rappresenta la tangente dell’angolo
a
formato da
v
→
0
con
l’asse
x
, ovvero l’inclinazione rispetto all’orizzontale del
fucile da cui parte il colpo.
L’altezza
h
9
alla quale è colpito il bersaglio è fornita dalla
prima equazione per
t
=
d
/
v
0
x
. Per calcolare questa altez-
za, dobbiamo prima determinare la componente
x
della
velocità iniziale del proiettile.
Dati e incognite
h
=
3,40 m
v
0
=
6,50 m/s
h
9
=
?
d
=
4,00 m
a
=
?
x
y
v
0
O
d
h
soluzione
Luisa colpisce il bersaglio in caduta libera se al
momento dello sparo tiene la canna del fucile incli-
nata dell’angolo
a
=
=
=
=
=
=
=
arctan
arctan
arctan
,
,
,
v
v
h
d
0
0
m
m
y
x
3 40
4 00
40 4°
cioè, per la similitudine dei triangoli rettangoli
OP
9
Q
9
e
OPQ
indicati nel diagramma, se prende la mira pun-
tando diritta alla posizione inizialmente occupata
dal bersaglio.
Essendo
v
0
x
=
v
0
cos
a
, il proiettile colpisce il bersa-
glio nell’istante
t
d
v
d
v
= =
0
x
0
cos
a
Utilizzando questa espressione nella legge oraria
del bersaglio, troviamo l’altezza
y
b
=
h
9
a cui avviene
l’impatto:
h
h g
d
v
= −
=
= −
1
2
3 40
1
2
0
2
m (9,81 m
cos
,
/s
m
m/s
°
m
2
)
,
,
cos ,
,
4 00
6 50
40 4
0 197
2
(
)
=
=
x
y
v
0
O
d
h
P
Q
v
0
y
v
0
x
Q
P
Impara la strategia
La forma delle equazioni che esprimono la coordina-
ta orizzontale
x
e quella verticale
y
di un proiettile
dipende dalla posizione del punto di lancio rispetto
all’origine
O
degli assi cartesiani. Per il nostro pelu-
che, la prima di queste equazioni si riduce a
x
=
x
0
,
essendo nulla la componente orizzontale
v
0
x
della
velocità iniziale.
Attenzione alle insidie
Le equazioni che descrivono il moto di due diversi
oggetti si possono combinare fra loro solo se riferite
allo stesso sistema di coordinate cartesiane e alla stessa
origine dei tempi.
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