Basic HTML Version
Da queste segue:
a
→
b
→
=
(
a
x
i
→
+
a
y
j
→
)
(
b
x
i
→
+
b
y
j
→
)
=
(
a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
k
→
Pertanto, in rappresentazione cartesiana, il prodotto vettoriale di due vet-
tori
a
→
e
b
→
appartenenti al piano
xy
è il vettore
p
→
diretto lungo l’asse
z
con
componente scalare
p
z
=
(
a
x
b
y
−
a
y
b
x
). Il suo modulo è
p
=
|
a
x
b
y
−
a
y
b
x
|.
Il momento come prodotto vettoriale
Fissato un punto
O
dello spazio, il vettore posizione
r
→
di un punto
P
rispetto a
O
è il segmento orientato avente origine in
O
e secondo estre-
mo in
P
. Se
P
è il punto di applicazione di una forza
F
→
[
fig. 35
]
, il vettore
r
→
è utile per esprimere in forma sintetica il momento della forza.
Rispetto a un punto fissato
,
il momento M
→
di una forza F
→
è il prodotto vettoriale
del vettore posizione r
→
del punto di applicazione della forza per la forza stessa
:
M
→
=
r
→
F
→
Poiché il prodotto vettoriale fra
r
→
ed
F
→
è perpendicolare sia a
r
→
sia a
F
→
,
questa espressione fornisce correttamente la direzione del momento.
Inoltre, la regola della mano destra che determina il verso del momento
è la stessa da cui si ottiene il verso di
r
→
F
→
.
Chiamiamo
a
l’angolo compreso fra i due vettori
r
→
ed
F
→
. Prendendo i
moduli dei due membri, la precedente equazione diventa:
M
=
r F
sin
a
Sappiamo che questa espressione fornisce l’area del parallelogramma
OPQR
in
[
fig. 36
]
, costruito sui due vettori
r
→
e
F
→
, avente base
P
−−
Q
=
F
e
altezza
O
−−
H
=
r
sin
a
. Poiché
O
−−
H
coincide con il braccio
b
di
F
→
rispetto al
punto
O
, scrivere
M
=
P
−−
Q
·
O
−−
H
=
r F
sin
a
è come scrivere
M
=
F b
.
Fig. 35
–
Il punto di applicazione
P
di una forza
F
→
è individuato,
in riferimento a un punto
O
, dal
vettore posizione
r
→
.
F
O
P
r
Fig. 36
–
Il modulo del momento è
l’area del parallelogramma costruito
sul vettore posizione e sulla forza.
F
P
r
Q
R
O
b
H
a
a
Fig. 37
–
I punti di applicazione
P
1
e
P
2
delle due forze
F
→
1
ed
F
→
2
di una coppia sono individuati,
in riferimento a un punto
O
, da
due vettori posizione
r
→
1
ed
r
→
2
. La
differenza
r
→
12
=
r
→
1
−
r
→
2
rappresenta
il vettore spostamento da
P
2
a
P
1
.
O
P
2
P
1
F
1
r
1
r
12
F
2
r
2
Abbiamo quindi evidenziato che la definizione del momento
M
→
di una
forza come prodotto vettoriale coincide con la definizione di
M
→
già nota.
È facile, ora, dimostrare che il momento di una coppia di forze non dipen-
de dal punto rispetto a cui sono calcolati i momenti delle singole forze.
Rispetto a un punto
O
fissato arbitrariamente, i momenti di due forze
F
→
1
ed
F
→
2
= −
F
→
1
sono:
M
→
=
r
→
1
F
→
1
M
→
2
=
r
→
2
F
→
2
= −
r
→
2
F
→
1
dove abbiamo indicato con
r
→
1
e
r
→
2
i vettori posizione dei punti
P
1
e
P
2
in
cui sono applicate le due forze
[
fig. 37
]
.
Il momento risultante è dunque:
M
→
=
M
→
1
+
M
→
2
=
r
→
1
F
→
1
−
r
→
2
F
→
1
=
(
r
→
1
−
r
→
2
)
F
→
1
=
r
→
12
F
→
1
Nell’ultimo membro di questa catena di uguaglianze abbiamo posto
r
→
12
=
r
→
1
−
r
→
2
. Il vettore
r
→
12
, che ha
P
2
come primo estremo e
P
1
come
secondo, è, in effetti, indipendente da
O
. La relazione
M
→
=
r
→
12
F
→
1
esprime il momento della coppia in modulo, direzione e verso.
001_058_CaforioSCI_U1_V1.indd 38
16/11