Basic HTML Version
Espressione cartesiana del prodotto scalare
I versori
i
→
e
j
→
degli assi di un sistema cartesiano
Oxy
, essendo due vettori
di modulo uguale a 1 e mutuamente perpendicolari, obbediscono alle
relazioni:
i
→
·
i
→
=
j
→
·
j
→
=
1
i
→
·
j
→
=
j
→
·
i
→
=
0
Dati due vettori
a
→
=
a
x
i
→
+
a
y
j
→
e
b
→
=
b
x
i
→
+
b
y
j
→
appartenenti a un piano
cartesiano, si ha pertanto:
a
→
·
b
→
=
(
a
x
i
→
+
a
y
j
→
) · (
b
x
i
→
+
b
y
j
→
)
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
cioè il prodotto scalare fra i due vettori è uguale alla somma dei prodotti
delle loro componenti
x
e
y
.
Il prodotto che dà come risultato un vettore
Come si moltiplicano fra loro due vettori
a
→
e
b
→
in modo da ottenere una
grandezza vettoriale?
Il prodotto vettoriale fra
a
→
e
b
→
, che indichiamo con
a
→
b
→
(leggi: “a vetto-
re b”), è un
vettore
p
→
=
a
→
b
→
con direzione perpendicolare al piano indi-
viduato da
a
→
e
b
→
e verso uscente dalla palma della mano destra quando
il pollice è disposto nel verso di
a
→
e le altre dita sono orientate come
b
→
[
fig. 32
]
.
Il modulo del prodotto vettoriale è uguale al prodotto dei moduli
a
e
b
dei due vettori di partenza per il seno dell’angolo
a
fra essi compreso:
p
=
a b
sin
a
Dalla
fig.33
si nota che l’altezza del parallelogramma
OAQB
costruito sui
due vettori è
B
−
H
−
=
b
sin
a
. L’area del parallelogramma, di base
O
−
A
−
=
a
, è:
O
−
A
−
·
B
−
H
−
=
a b
sin
a
cioè esprime il modulo del prodotto vettoriale.
Dalla definizione segue che
il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo
.
Valgono inoltre:
•
la proprietà anticommutativa (invertendo l’ordine dei vettori il pro-
dotto vettoriale cambia verso):
a
→
b
→
= −
b
→
a
→
;
•
la proprietà distributiva rispetto alla somma:
(
a
→
+
b
→
)
c
→
=
a
→
c
→
+
b
→
c
→
.
Espressione cartesiana del prodotto vettoriale
Siano
i
→
,
j
→
e
k
→
i versori degli assi di un sistema cartesiano
Oxyz
avente gli
assi
x
e
y
nel piano dei due vettori
a
→
e
b
→
[
fig. 34
]
. Tenendo conto della
definizione di prodotto vettoriale, si trova che valgono le relazioni:
i
→
i
→
=
j
→
j
→
=
0
i
→
j
→
=
k
→
j
→
i
→
= −
k
→
Fig. 32
–
Direzione e verso del
prodotto vettoriale.
b
a
p
=
a
b
b
a
p
=
a
b
A
O
b
a H
Q
B
p
=
a
b
Fig. 33
–
Il modulo del prodotto
vettoriale
p
→
=
a
→
×
b
→
è l’area del
parallelogramma costruito sui due
vettori
a
→
e
b
→
.
Fig. 34
–
Il prodotto vettoriale
nello spazio cartesiano
tridimensionale.
b
p
=
a
b
O
y
z
x
a
j
i
k
001_058_CaforioSCI_U1_V1.indd 37
16/11