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PrOBLEMA
1
Una gara avvincente
Uscendo dalla corsia dei box alla velocità di 80,0 km/h,
Felipe entra in pista 0,214 s dopo che è transitato Lewis.
Felipe accelera con un’accelerazione costante di 9,56 m/s
2
raggiungendo la velocità di 216 km/h e prosegue la corsa
a velocità costante. La vettura di Lewis, che ha le gomme
logore, viaggia alla velocità costante di 198 km/h. Dopo
quanto tempo dalla sua immissione in pista Felipe raggiun-
ge Lewis?
Analisi della situazione fisica
Fissiamo l’origine
O
delle coordinate nel punto in cui
la corsia dei box si congiunge alla pista e misuriamo i
tempi dall’istante
t
0
=
0 in cui Felipe entra in pista dalla
posizione
O
con velocità
v
F
0
.
Il moto di Felipe è uniformemente accelerato con accele-
razione
a
F
fino a un certo istante
t
1
in cui la sua velocità
assume il valore
v
F
. Da quell’istante in poi Felipe man-
tiene costante la velocità raggiunta.
Lewis, che viaggia con una velocità costante
v
L
, ha un lasso
di tempo
D
t
di vantaggio su Felipe e quindi, nell’istante
t
0
,
già si trova a una distanza
s
L
0
=
v
L
D
t
da
O
. Poiché, tutta-
via, la sua velocità è minore della velocità finale raggiunta
dall’avversario, prima o poi sarà raggiunto e superato.
Ciò avverrà nella fase della gara in cui Felipe accelera o
in quella in cui procede a velocità costante?
Per rispondere a questa domanda dobbiamo trovare la
coordinata
s
F
1
di Felipe nell’istante
t
1
e confrontarla con
la coordinata
s
L
1
raggiunta da Lewis nel frattempo.
Se è
s
L
1
<
s
F
1
, Lewis viene raggiunto prima dell’istante
t
1
,
altrimenti viene raggiunto dopo.
La legge oraria di Lewis, in ogni istante successivo a
t
0
, è:
s
L
=
s
L
0
+
v
L
t
=
v
L
D
t
+
v
L
t
=
v
L
(
t
+
D
t
)
Il moto di Felipe, invece, non è descritto da un’unica
legge oraria.
Per
t
0
≤
t
≤
t
1
, il pilota compie un moto uniformemente
accelerato che comincia nell’origine delle coordinate.
Perciò si ha:
1
2
0
2
s
v t
a t
F
F
F
= +
Per
t
≥
t
1
, la legge è quella che descrive un moto uniforme
a velocità
v
F
con inizio, nell’istante
t
1
, dalla coordinata
s
F
1
:
s
F
=
s
F
1
+
v
F
(
t
−
t
1
)
O
s
t
0
= 0
s
L
0
a
F
v
F
0
v
L
Impara la strategia
Nei casi come quello di Felipe, in cui il moto si
compone di due fasi, ciascuna fase è descritta da
una diversa legge oraria. La coordinata e la veloci-
tà raggiunte nell’istante
t
1
in cui termina la prima
fase sono la coordinata e la velocità con cui inizia,
nello stesso istante, la fase successiva. Poiché
t
1
≠
0,
nella legge oraria della seconda fase la variabile
temporale deve figurare nella forma
t
−
t
1
.
In ogni caso, l’istante
t
in cui le due vetture si trovano
appaiate in pista è quello in cui la coordinata
s
L
di Lewis
coincide con la coordinata
s
F
di Felipe:
s
L
=
s
F
Dati e incognite
v
F
0
=
80,0 km/h
v
L
=
198 km/h
D
t
=
0,214 s
a
F
=
9,56 m/s
2
v
F
=
216 km/h
t
=
?
soluzione
Il moto uniformemente accelerato di Felipe dura un
tempo
t
1
tale che:
v
F
=
v
F
0
+
a
F
t
1
Essendo
v
F
0
=
80,0 km/h
=
22,2 m/s
e
v
F
=
216 km/h
=
60,0 m/s
si ha:
t
v v
a
F F
F
1
0
60 0
22 2
9 56
3 95
=
−
=
−
=
,
,
,
,
m/s
m/s
m/s
s
2
Nell’istante
t
1
la coordinata
s
F
1
del pilota è:
s
F
1
=
v
F
0
t
1
+
1
2
a
F
t
1
2
=
=
(22,2 m/s) (3,95 s)
+
1
2
(9,56 m/s
2
) (3,95 s)
2
=
162 m
Nello stesso momento Lewis, che procede alla velo-
cità
v
L
=
198 km/h
=
55,0 m/s, si è portato nella
posizione di coordinata:
s
L
1
=
v
L
(
t
1
+
D
t
)
=
(55,0 m/s) (3,95 s
+
0,214 s)
=
229 m
Essendo
s
L
1
>
s
F
1
, Lewis è raggiunto in un istante
successivo a
t
1
. Precisamente, nell’istante
t
tale che:
v
L
(
t
+
D
t
)
=
s
F
1
+
v
F
(
t
−
t
1
)
(
v
F
−
v
L
)
t
=
v
L
D
t
+
v
F
t
1
−
s
F
1
t
v t v t
s
v v
L
F
F
F L
=
+ −
−
=
=
(
)(
)
+
D
1
1
55 0
0 214 60 0
,
,
,
m/s
s
m/s
(
)(
)
−
−
=
=
3 95 162
60 0
55 0
17 4
,
,
,
,
s
m
m/s
m/s
s
STRATeGIe DI
PROBLEM SOLVING
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