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Come moltiplicare un vettore
per un altro
Fra vettori si definiscono due tipi di prodotto: il
prodotto scalare
e il
prodotto vettoriale
.
Entrambi possono essere eseguiti fra coppie qualsiasi di vettori. Le
dimensioni fisiche dei loro risultati sono uguali al prodotto delle dimen-
sioni dei vettori di partenza.
Il prodotto che dà come risultato uno scalare
Consideriamo due vettori
a
→
e
b
→
e chiamiamo
a
l’angolo formato dalle
loro direzioni.
Il prodotto scalare fra
a
→
e
b
→
, che indichiamo con
a
→
·
b
→
(leggi: “a scalare
b”), è una grandezza
scalare
definita come il prodotto dei moduli
a
e
b
dei
due vettori per il coseno dell’angolo
a
fra essi compreso:
a
→
·
b
→
=
a b
cos
a
Il prodotto scalare è positivo o negativo a seconda che l’angolo
a
sia
minore o maggiore di 90°. È inoltre uguale a zero se è
a
=
90°. In altri
termini,
se due vettori sono perpendicolari il loro prodotto scalare è nullo
.
In
fig. 31
sono rappresentati due vettori
a
→
e
b
→
con origine nello stesso
punto
O
. La perpendicolare a
b
→
passante per il secondo estremo
A
di
a
→
individua lungo la direzione di
b
→
il punto
A
: il modulo del vettore
O
−→
A
,
preceduto dal segno positivo o negativo a seconda che
O
−→
A
punti nel
verso di
b
→
o nel verso opposto, è la componente scalare
a
//
di
a
→
lungo la
direzione di
b
→
, o
proiezione perpendicolare
di
a
→
su
b
→
. Detto
a
l’angolo com-
preso fra
a
→
e
b
→
, si ha:
a
//
=
a
cos
a
Allo stesso modo, la componente scalare
b
//
di
b
→
lungo la direzione di
a
→
,
o proiezione perpendicolare di
b
→
su
a
→
,è il modulo del vettore
O
−→
B
prece-
duto dal segno positivo o negativo a seconda che
O
−→
B
punti nel verso di
a
→
o nel verso opposto:
b
//
=
b
cos
a
Pertanto, il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto della
proiezione di un vettore sull’altro per il modulo di quest’ultimo:
a
→
·
b
→
=
a
//
b
=
a
b
//
Altre proprietà del prodotto scalare sono:
•
la proprietà commutativa:
a
→
·
b
→
=
b
→
·
a
→
•
la proprietà distributiva rispetto alla somma: (
a
→
+
b
→
) ·
c
→
=
a
→
·
c
→
+
b
→
·
c
→
b
a
A
B
O
A
a
//
b
a
A
B
O
b
//
B
b
a
A
B
O
A
a
//
a
A
B
O
b
//
B
La quantità
b
//
=
b
cos
a
è la componente
scalare del vettore
b
→
lungo la direzione di
a
→
.
La quantità
a
//
=
a
cos
a
è la componente
scalare del vettore
a
→
lungo la direzione di
b
→
.
Fig. 31
–
Proiezione perpendicolare
di un vettore su un altro.
più matematica
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