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Utilizzando i versori e ricordando la definizione del prodotto fra uno
scalare e un vettore, i vettori componenti
a
→
x
e
a
→
y
di un vettore
a
→
possono
essere scritti nella forma:
a
→
x
=
a
x
i
→
a
→
y
=
a
y
j
→
dove
a
x
e
a
y
sono le componenti cartesiane di
a
→
.
Otteniamo così l’
espressione cartesiana
del vettore
a
→
, data dalla seguente
relazione vettoriale:
a
→
=
a
x
i
→
+
a
y
j
→
Per esempio, in un dato istante
t
, l’espressione cartesiana della velocità di
un grave lanciato obliquamente rispetto al piano orizzontale è, in riferi-
mento al caso illustrato in figura 19,
v
→
=
v
0
x
i
→
+
(
v
0
y
−
g t
)
j
→
In modo analogo le coordinate
x
e
y
del grave possono essere conside-
rate come le componenti cartesiane del vettore posizione avente origine
nel punto di lancio. L’equazione oraria può scriversi perciò nella forma
vettoriale
s
→
=
v
0
x
t
i
→
+
1
2
0
2
v t
g t
y
(
)
−
j
→
o, meglio ancora, nella forma
s
→
=
v
→
0
t
+
s
t
g t
2
1
2
→
che, rispetto alla precedente forma cartesiana, ha il pregio di essere svin-
colata dal particolare sistema cartesiano assunto per lo studio del moto
e di evidenziare con immediatezza che il moto risulta dalla composizione
di un moto per inerzia e di un moto in verticale dovuto alla gravità. Essa
è valida qualunque sia la direzione della velocità
v
→
0
di lancio.
Relazioni goniometriche fra modulo
e componenti di un vettore
La
fig. 23
mostra una circonferenza di centro
O
e un sistema di assi car-
tesiani
Oxy
con origine in
O
. Il raggio
OA
, che giace sull’asse
x
, è fissato
come riferimento per la misura degli angoli al centro, con la convenzio-
ne di considerare positivi gli angoli descritti, a partire da
OA
, in senso
antiorario e negativi quelli descritti in senso orario. Attribuire, come in
questo caso, un segno all’ampiezza di un angolo significa definire un
angolo orientato
.
Nella figura è indicato un angolo orientato di ampiezza
a
. Se
B
è
l’intersezione del secondo lato dell’angolo con la circonferenza e
H
l’intersezione fra l’asse
x
e la sua perpendicolare passante per
B
, le fun-
zioni goniometriche
coseno
,
seno
e
tangente
dell’angolo
a
, indicate
con i simboli cos
a
, sin
a
e tan
a
, possono essere definite attraverso
le relazioni:
cos
a
=
OH
OB
sin
a
=
BH
OB
tan
a
a
a
= =
sin
cos
BH
OH
x
O
H H
B
B
A
y
Fig. 23
–
Il seno, il coseno e la
tangente sono funzioni di un angolo
orientato
a
.
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