Basic HTML Version
La rappresentazione cartesiana
dei vettori
Di particolare interesse è la scomposizione di un vettore secondo due
direzioni perpendicolari e l’utilizzo delle sue componenti cartesiane,
che sono grandezze scalari sulle quali si opera con le normali regole del
calcolo algebrico.
Le componenti cartesiane di un vettore
Dato un vettore
a
→
, rappresentato da una freccia con la coda in
O
e la
punta in
A
, fissiamo un sistema di assi cartesiani
Oxy
con origine in
O
e
scomponiamo il vettore nei due vettori componenti
a
→
x
e
a
→
y
diretti, rispet-
tivamente, secondo gli assi
x
e
y
[
fig. 20
]
. Possiamo così esprimere il vet-
tore
a
→
in funzione dei suoi componenti cartesiani mediante la relazione:
a
→
=
a
→
x
+
a
→
y
I moduli dei vettori componenti
a
→
x
e
a
→
y
, preceduti dal segno più o meno
a seconda che abbiano lo stesso verso o verso opposto rispetto ai rispet-
tivi assi, si chiamano
componenti scalari cartesiane
o semplicemente
componenti cartesiane
del vettore
a
→
e si indicano con
a
x
e
a
y
.
La
fig. 21
illustra come si calcolano le componenti cartesiane di un vet-
tore in relazione alle coordinate dei suoi estremi. Tali componenti sono
indipendenti dal punto in cui il vettore è applicato.
a
x
a
a
y
O
A
x
y
Fig. 20
–
Componenti di un vettore
secondo due assi cartesiani.
u
x
y
O
P
y
P
x
P
b
b
x
b
y
u
x
y
O
P
y
P
x
P
b
b
x
b
y
x
O
9
O
9
y
O
9
Fig. 21
–
Calcolo delle componenti
cartesiane.
Se la coda di un vettore
b
→
coincide con
l’origine degli assi
O
, le componenti
cartesiane del vettore sono le coordinate
cartesiane della sua punta
P
:
b
x
=
x
P
= −
4 u,
b
y
=
y
P
=
5 u.
Se il punto di applicazione
O
di
b
→
non
coincide con
O
, le componenti cartesiane sono
la differenza fra le coordinate di
P
e quelle
di
O
:
b
x
=
x
P
−
x
O’
= −
2 u
−
2 u
= −
4 u,
b
y
=
y
P
−
y
O’
=
6 u
−
u
=
5 u.
I versori e l’espressione cartesiana di un
vettore
Per specificare una direzione e un verso nello spazio è utile introdurre
il
vettore unitario
o
versore
, cioè un
vettore adimensionale di lunghezza
unitaria
orientato nella direzione e nel verso considerati. Il modulo di un
versore è sempre uguale al numero puro 1.
In
fig. 22
sono rappresentati i versori degli assi
x
e
y
di un sistema carte-
siano, indicati con i simboli
i
→
e
j
→
.
più matematica
j
O
x
y
i
Fig. 22
–
Versori in un piano
cartesiano.
001_058_CaforioSCI_U1_V1.indd 25
16/11