Basic HTML Version
Se, fissato l’angolo
a
, eseguiamo la stessa costruzione geometrica su una
circonferenza di raggio diverso, sempre con centro in
O
, individuiamo i
punti
B
e
H
come in figura. I triangoli rettangoli
OHB
e
OH
B
, avendo
in comune l’angolo acuto
a
, sono simili, e quindi i rapporti fra lati cor-
rispondenti sono gli stessi:
OH
OB
=
OH
OB
'
'
BH
OB
=
BH
OB
'
'
BH
OH
=
B H
OH
' '
'
Ciò vuol dire che i valori del coseno, del seno e della tangente non dipen-
dono dal raggio della circonferenza, ma solo dall’ampiezza dell’angolo.
Nelle relazioni precedenti, le lunghezze dei segmenti
OH
e
BH
devono
essere intese, rispettivamente, come l’ascissa e l’ordinata del punto
B
.
Pertanto sono quantità dotate di segno, come illustrato in
fig. 24
.
Fig. 24
–
Il segno delle funzioni
goniometriche.
0 <
a
< 90°: l’ascissa e
l’ordinata del punto
B
sono
entrambe positive.
90° <
a
< 180°: il punto
B
ha
ascissa negativa e
ordinata positiva.
180° <
a
< 270°: l’ascissa e
l’ordinata di
B
sono entrambe
negative.
270° <
a
< 360°: il punto
B
ha
ascissa positiva e
ordinata negativa.
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
cos
a
> 0
sin
a
> 0
tan
a
> 0
cos
a
< 0
sin
a
> 0
tan
a
< 0
cos
a
< 0
sin
a
< 0
tan
a
> 0
cos
a
> 0
sin
a
< 0
tan
a
< 0
Le funzioni goniometriche di un angolo sono quantità adimensionali. Il
seno e il coseno variano fra
−
1 e 1, e la tangente non è definita per gli
angoli di 90° e 270°.
Dalle definizioni segue che le funzioni sin
a
e cos
a
tornano ad assu-
mere gli stessi valori ogni volta che l’angolo
a
varia di 360°. Il seno e il
coseno di un angolo sono, cioè, funzioni
periodiche
con periodo uguale
a 360°. Altre proprietà delle funzioni goniometriche sono elencate
nella
tab. 5
.
Possiamo sfruttare le funzioni goniometriche per esprimere le compo-
nenti cartesiane
a
x
e
a
y
di un vettore
a
→
se è noto il suo modulo
a
e l’angolo
a
da esso formato con l’asse
x
[
fig. 25
]
:
a
x
=
a
cos
a
a
y
=
a
sin
a
Inversamente, se di un vettore sono note le componenti
a
x
e
a
y
, il suo
modulo si calcola applicando il teorema di Pitagora:
a a a
x
y
= +
2
2
Tab. 5
–
Alcune proprietà delle funzioni goniometriche
Funzioni di 180°
−
a
Funzioni di 180°
+
a
Funzioni di 360°
−
a
Funzioni di
−
a
sin (180°
−
a
)
=
sin
a
sin (180°
+
a
)
= −
sin
a
sin (360°
−
a
)
= −
sin
a
sin (
−
a
)
= −
sin
a
cos (180°
−
a
)
= −
cos
a
cos (180°
+
a
)
= −
cos
a
cos (360°
−
a
)
=
cos
a
cos (
−
a
)
=
cos
a
tan (180°
−
a
)
=
– tan
a
tan (180°
+
a
)
=
tan
a
tan (360°
−
a
)
= −
tan
a
tan (
−
a
)
= −
tan
a
Fig. 25
–
Mediante le funzioni
goniometriche si esprimono le
relazioni fra modulo e componenti
cartesiane di un vettore.
a
x
a
y
x
O
y
a
a
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
cos
a
> 0
sin
a
> 0
tan > 0
cos
a
< 0
sin
a
> 0
tan < 0
cos
a
< 0
sin
a
< 0
tan > 0
cos
a
> 0
sin
a
< 0
tan < 0
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
cos
a
> 0
sin
a
> 0
tan
a
> 0
cos
a
< 0
sin
a
> 0
tan
a
< 0
cos
a
< 0
sin
a
< 0
tan
a
> 0
cos
a
> 0
sin
a
< 0
tan
a
< 0
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
x
O
a
B
y
cos
a
> 0
sin
a
> 0
tan
a
> 0
cos
a
< 0
sin
a
> 0
tan
a
< 0
cos
a
< 0
sin
a
< 0
tan
a
> 0
cos
a
> 0
sin
a
< 0
tan
a
< 0
001_058_CaforioSCI_U1_V1.indd 27
16/11