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Tale limite si chiama
integrale definito
da
a
a
b
della funzione
y
(
x
) e si
indica con la notazione:
y x x
a
b
( ) d
∫
Si dimostra che l’integrale definito si può calcolare da una primitiva
Y
(
x
)
della funzione
y
(
x
).
Vale infatti la relazione:
y x x Y x Y b Y a
a
b
a
b
( )
[ ( )]
( )
( )
d
= = −
∫
è utile infine notare che, poiché l’area sottesa al grafico della somma
y
(
x
)
=
f
(
x
)
+
g
(
x
) di due funzioni
f
(
x
) e
g
(
x
) è la somma delle aree sottese
ai grafici di
f
(
x
) e
g
(
x
), l’integrale della somma di due funzioni è uguale
alla somma degli integrali delle singole funzioni.
Lo spostamento come integrale della velocità
In fisica s’incontrano numerose grandezze il cui valore può essere deter-
minato calcolando l’area sottesa alla curva di una funzione. Fra queste
figura lo spostamento di un punto materiale lungo una traiettoria
prestabilita, se è nota la velocità scalare istantanea
v
(
t
) in funzione del
tempo.
Infatti, se d
s
è lo spostamento infinitesimo nell’intervallo infinitesimo di
tempo d
t
, per definizione di velocità scalare istantanea si ha:
d
s
=
v
(
t
) d
t
da cui, integrando i due membri da un istante
t
0
a un istante
t
,
d
d
s
v t t
t
t
t
t
0
0
∫ ∫
=
( )
cioè
s
(
t
)
−
s
(
t
0
)
=
v t t
t
t
( ) d
0
∫
o, per
t
0
=
0,
s
(
t
)
−
s
0
=
( ) d
0
v t t
t
∫
in cui abbiamo posto
s
(0)
=
s
0
.
Applicando questa relazione al caso di un moto rettilineo uniformemen-
te accelerato, per il quale è
v
(
t
)
=
v
0
+
a t
, otteniamo:
s t
s
v a t t
v t
a t
t
t
( )
[
]
− = +
(
)
= +
∫
0
0
0
0
2
0
1
2
d
cioè
s t
s
v t
a t
( )
− = +
0
0
2
1
2
che coincide con la già nota equazione oraria del moto uniformemente
accelerato.
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