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con
s
0
,
v
0
ed
a
costanti che rappresentano rispettivamente la coordinata
iniziale, la velocità iniziale e l’accelerazione del moto.
Calcoliamo la derivata, utilizzando la tabella 3 e tenendo conto che, se
una funzione
y
=
f
(
x
) è la somma di due funzioni, cioè
f
(
x
)
=
g
(
x
)
+
h
(
x
), la
sua derivata è uguale alla somma delle derivate, ovvero
f
9
(
x
)
=
g
9
(
x
)
+
h
9
(
x
).
Otteniamo:
d
d
0
s
t v a t
= +
cioè la velocità istantanea nel moto rettilineo uniformemente accelerato.
In modo analogo troviamo che la derivata della velocità rispetto al
tempo è l’accelerazione.
La derivata di una funzione
y
(
x
) è, a sua volta, una funzione della variabi-
le
x
. La derivata della derivata, indicata con i simboli
y
o d
2
y
/d
x
2
, prende
il nome di
derivata seconda
:
d
d
d
d
d
d
2
2
y
x
x
y
x
( )
=
L’accelerazione è dunque la derivata seconda della coordinata
s
(
t
) rispet-
to al tempo
t
.
L’integrale
Data una funzione
y
(
x
) si chiama
primitiva
di
y
(
x
) qualsiasi funzione
Y
(
x
) la cui derivata sia uguale a
y
(
x
). Poiché la derivata di una costante è
nulla, la primitiva è definita a meno di una costante additiva.
La generica primitiva di una funzione
y
(
x
) è chiamata
integrale indefi-
nito
di
y
(
x
) e denotata con il simbolo:
y x x
( ) d
∫
da leggersi “integrale indefinito di
y
(
x
) in d
x
”.
Indicando con
Y
(
x
) una particolare primitiva di
y
(
x
) e con
c
una costante
si ha:
y x x Y x c
( )
( )
d
= +
∫
Nella
tab. 4
sono indicati gli integrali indefiniti di alcune funzioni ele-
mentari.
L’integrale di qualunque funzione continua può essere messo in relazio-
ne con l’area sottesa al grafico della funzione.
Come si calcola l’area compresa fra il grafico di una funzione
y
(
x
) e l’asse
x
, entro gli estremi
a
e
b
di un intervallo fissato su tale asse?
Dalla
fig. 11
si vede che, suddiviso l’intervallo in parti di lunghezza
D
x
e scelto a piacere un punto
x
i
nell’i-esima parte, l’area del rettangolo
di base
D
x
e altezza
y
(
x
i
) è circa uguale all’area sottesa al grafico nell’
i
-
esimo dei brevi tratti di asse
x
considerati. La somma delle aree di tutti
i rettangoli
y x x
i
i
( )
∑
D
approssima l’area complessiva sotto la curva con precisione tanto mag-
giore quanto più piccola è la lunghezza
D
x
(e conseguentemente quanto
maggiore è il numero delle parti in cui è suddiviso l’intervallo di estremi
a
e
b
)
.
Il limite della somma al tendere a zero di
D
x
è esattamente l’area
sotto la curva.
Fig. 11
–
L’integrale definito di
una funzione
y
(
x
) fra due estremi
a
e
b
è l’area sotto il grafico di
y
(
x
)
compresa fra le ascisse
a
e
b.
Tab. 4
–
Integrali indefiniti di
alcune funzioni (
a
,
b
,
c
e
n
indicano
delle costanti)
Funzione
Integrale
indefinito
a x
n
(con n
≠ −
1)
a x
n
c
n
+
+
+
1
1
a
x
a
ln|
x
|
+
c
b e
ax
b e
a
c
ax
+
b
cos (
a x
)
+
b a x
a
c
sin ( )
b
sin (
a x
)
−
+
b a x
a
c
cos ( )
x
y
a
y
(
x
i
)
b
D
x
x
i
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