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derivate e integrali:
che uso ne fa la fisica?
Per la determinazione delle variabili cinematiche del moto e per la riso-
luzione di molti altri problemi di fisica è necessario applicare il calcolo
infinitesimale, cioè utilizzare derivate e integrali. A questi argomenti, che
nel corso degli studi di matematica verranno affrontati diffusamente,
accenniamo qui in modo molto sommario.
La derivata
Una variabile
y
è una
funzione
di un’altra variabile
x
se
esiste una legge che assegni, per ogni valore di
x
appar-
tenente a un determinato intervallo, un unico valore a
y
.
La
x
è chiamata
variabile indipendente
e la
y
variabile
dipendente
. Per indicare che
y
è una funzione di
x
si scrive
y
=
y
(
x
) (da leggersi “ipsilon uguale a ipsilon di
x
”), oppure
y
=
f
(
x
) (da leggersi “
y
uguale a effe di
x
”).
Data una funzione
y
(
x
), se
D
x
è un incremento della varia-
bile indipendente
x
e
D
y
è il corrispondente incremento
della variabile dipendente
y
[
fig. 10
]
, si chiama
rapporto
incrementale
la quantità:
D
D
D
D
y
x
y x x y x
x
=
+ −
(
)
( )
Fissato il valore di
x
, il rapporto incrementale è una funzione di
D
x
. Il suo
limite per
D
x
tendente a zero si chiama
derivata
di
y
rispetto a
x
e si indica
con il simbolo
y
9
(
x
) (da leggersi “ipsilon primo di
x
”) o
d
d
y
x
(da leggersi
“derivata di
y
rispetto a
x
”).
Abbiamo perciò:
d
d
y
x
=
lim
(
)
( )
D
D
D
x
y x x y x
x
→
+ −
0
Geometricamente la derivata rappresenta la pendenza della retta tangen-
te al grafico della funzione
y
nel punto di ascissa
x
.
Nella
tAb. 3
sono indicate le derivate di alcune funzioni.
La velocità e l’accelerazione come derivate
Se la funzione considerata è, al variare del tempo, la coordinata
s
(
t
) di
un punto materiale in movimento lungo la traiettoria, il rapporto incre-
mentale
D
s
/
D
t
, come già sappiamo, è la velocità scalare media del punto
materiale in un certo intervallo di tempo
D
t
. La velocità scalare istanta-
nea
v
(
t
), essendo il limite della velocità scalare media al tendere di
D
t
a
zero, cioè la pendenza della retta tangente al diagramma orario, coincide
con la derivata di
s
rispetto a
t
:
( )
d
d lim
(
) ( )
0
D
D
D
v t
s
t
s t
t
s t
t
t
= =
+ −
→
Una conferma del risultato a cui siamo pervenuti possiamo averla consi-
derando il moto rettilineo uniformemente accelerato, in cui la coordina-
ta
s
è espressa in funzione del tempo
t
dalla funzione:
s
(
t
)
=
s
0
+
v
0
t
+
1
2
a
t
2
fig. 10
–
grafico di una
funzione
y
(
x
) e suo incremento
D
y
corrispondente a un incremento
D
x
della variabile indipendente
x
.
x
y
x
y
(
x
)
y
(
x
+
D
x
)
x
+
D
x
D
x
D
y
tAb. 3
–
Derivate di alcune funzioni
(
a, b
e
n
indicano delle costanti)
funzione
derivata
a
0
a x
n
n a x
n
−
1
b
ln (
a x
)
b
x
b e
ax
a b e
ax
b
cos (
a x
)
−
a b
sin (
a x
)
b
sin (
a x
)
a b
cos (
a x
)
pIù mATemATIcA
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