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Relatività del moto e principio di composizione dei movimenti
Nuove operazioni tra vettori
Prodotto scalare di due vettori
Si definisce
prodotto scalare
di due vettori
v
r
e
u
r
(che possono rappresen-
tare due grandezze non omogenee) lo scalare
w
definito dalla relazione se-
guente:
w
=
v
r
⋅
u
r
(leggi v scalar u)
=
v u
cos
α
prodotto scalare di due vettori
[4]
essendo
α
l’angolo definito dalle direzioni dei vettori
v
r
e
u
r
(
Figura 5
).
Esempio numerico
Un’applicazione del prodotto scalare, è quella che consente di esprimere il
lavoro di una forza, il cui punto di applicazione subisce uno spostamento
secondo una direzione e verso non necessariamente coincidenti con quelli
della forza.
Con riferimento agli schemi vettoriali di
Figura 5
, supponendo ad esempio
che il vettore
u
r
indichi una forza
F
r
di intensità
F
=
10,0N e il vettore
v
r
in-
dichi uno spostamento
s
r
di intensità
s
r
=
20,0 m, il lavoro
L
della forza
F
r
sarà
espresso dalla relazione:
L
=
F
r
·
s
r
=
F s
cos
a
Supponendo poi che, nel primo caso,
a
=
40,0° e nel secondo caso
a
=
140,0°, si avrà:
L
1
=
10,0 N
⋅
20,0 m
⋅
cos 40,0°
=
153 J
L
2
=
10,0 N
⋅
20,0 m
⋅
cos 140,0°
=
− 153 J
Si osservi che la corretta applicazione del prodotto scalare fornisce il segno
del lavoro della forza.
Prodotto vettore di due vettori
Dati due vettori
v
r
e
u
r
che rappresentano due grandezze vettoriali non ne-
cessariamente omogenee, si definisce
prodotto vettore dei vettori
v
r
e
u
r
il
vettore
w
r
così definito:
•
direzione
: coincide con la perpendicolare al piano definito dalle direzioni
dei due vettori;
•
verso
: è individuato dal dito medio della mano destra quando il pollice e
l’indice della stessa mano, disposti in un piano perpendicolare al medio,
indicano rispettivamente il primo e il secondo dei due vettori (
Figura 6
);
questo modo di utilizzare la mano destra è detto
regola della mano destra
;
• intensità o modulo: è dato dalla relazione seguente:
w
=
v u
sin
α
[5]
dove con
α
si è indicato l’angolo definito dai vettori
v
r
e
u
r
nell’ordine
(
Figura 6
).
Il vettore corrispondente a un prodotto vettore non viene applicato in
un punto preciso.
Figura 6
Rappresentazione delle
modalità di applicazione della
regola della mano destra per
l’ individuazione del vettore
w
r
prodotto vettore dei vettori
v
r
e
u
r
.
v
u
w
w
u
v
α
v
u
v
u
Figura 5
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