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9
C
ha centro
P
0
¼
0; 4
ð
Þ
e raggio
ffiffiffiffiffi
29
p
2
. La circonferenza tangente a
r
e a
C
di raggio minimo e` quella tangente esterna-
mente a
C
con centro sulla retta ortogonale a
r
passante per
P
0
. Questa retta ha equazione 5
x
þ
2
y
þ
8
¼
0 e interseca
r
in
2;1
ð
Þ
e
C
in
1;
3
2
. Dunque la circonferenza cercata ha centro
3
2
;
1
4
e raggio
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
þ
3
2
2
þ
1
þ
1
4
2
s
¼
ffiffiffiffiffi
29
p
4
, pertanto ha equazione
x
2
þ
y
2
þ
3
x
þ
1
2
y
þ
1
2
¼
0.
11
C
1
ha centro
P
1
¼ ð
4, 6
Þ
e raggio
1
¼
ffiffiffiffiffi
29
p
. Inoltre e` tangente a
r
in
T
¼ ð
2;1
Þ
, e sta nel semipiano delimitato da
r
opposto a quello in
cui si trova
C
.
B
8
8
6
6
4
4
2
2
0
–2 –4
–4
–2
–6
–6
–8
P
T
P
1
r
1
A
Ne deduci che la circonferenza che cerchi sta nello stesso semipiano deli-
mitato da
r
nel quale si trova
C
, ed e` tangente a
r
e a
C
1
in
T
. Pertanto
il suo centro sta sulla retta passante per
P
1
e
T
, che ha equazione
5
x
þ
2
y
þ
8
¼
0. Puoi ora osservare che questa retta contiene anche il
centro di
C
e la interseca nei punti
A
¼
1;
3
2
e
B
¼
1;
13
2
. Le circonferenze che cerchi sono allora due, quella di
diametro
TA
(tangente esternamente a
C
) e quella di diametro
TB
(tan-
gente internamente). Con qualche calcolo trovi che hanno equazioni
x
2
þ
y
2
þ
3
x
þ
1
2
y
þ
1
2
¼
0 e
x
2
þ
y
2
þ
x
þ
11
2
y
17
2
¼
0.
15
Osserva intanto che i tre punti medi dei lati sono distinti e non allineati, dunque sono contenuti in un’unica circonferenza
C
.
Ti bastera` allora verificare che
C
contiene uno solo dei piedi delle altezze, infatti i tre vertici di
C
giocano il medesimo ruolo
nella determinazione di
C
, dunque se
C
contiene uno dei piedi delle altezze contiene anche gli altri due. Analogamente ti ba-
stera` verificare che
C
contiene il punto medio di uno solo dei segmenti con un estremo nell’ortocentro e l’altro in un vertice.
Fissa ora un riferimento cartesiano rispetto al quale i vertici hanno coordinate
A
¼ ð
a
;0
Þ
,
B
¼ ð
b
;0
Þ
e
C
¼ ð
0;
c
Þ
con
a
<
b
e
c
>
0. Imponendo che
C
:
x
2
þ
y
2
þ
x
þ
y
þ ¼
0 passi per questi tre punti trovi dopo qualche calcolo che essa ha equa-
zione
x
2
þ
y
2
a
þ
b
2
x
c
2
ab
2
c
y
¼
0. Osservi allora immediatamente che
C
contiene il piede dell’altezza relativa a
C
,
che e`
ð
0;0
Þ
. Le altezze relative a
C
e
A
sono
x
¼
0 e
bx cy ab
¼
0, e intersecandole tra loro vedi che l’ortocentro e`
H
¼
0;
ab
c
. Il punto medio di
HC
e` 0;
c
2
ab
2
c
, che di nuovo appartiene a
C
, dunque hai la conclusione desiderata.
18
Fissa un riferimento in cui l’asse delle ascisse coincide con
r
e il punto
A
sta sul semiasse delle ordinate positive, dunque
A
¼ ð
0;
a
Þ
per qualche
a
>
0. Se
P
¼ ð
x
;
y
Þ
hai allora
d
ð
P
,
r
Þ ¼ j
y
j
e
d
2
ð
P
,
A
Þ ¼
x
2
þ ð
y a
Þ
2
, dunque
L
ha equazione
j
y
j ¼
x
2
þ ð
y a
Þ
2
. Se
y
<
0 essa non e` mai soddisfatta, dunque essa equivale a
y
¼
x
2
þ ð
y a
Þ
2
, ovvero
x
2
þ
y
2
ð
2
a
þ
1
Þ
y
þ
a
2
¼
0. Concludi che
L
ð
A
,
r
Þ
e` la circonferenza di centro 0;
a
þ
1
2
e raggio
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
þ
1
4
r
. Osser-
va che il raggio di
L
ð
A
,
r
Þ
e` sempre maggiore di
1
2
e che il centro sta sulla retta perpendicolare a
r
passante per
A
, oltre
A
,
a distanza
1
2
da
A
stesso, dunque a distanza
a
þ
1
2
da
r
. Concludi allora che puoi ottenere come
L
ð
A
,
r
Þ
precisamente le cir-
conferenze di raggio maggiore di
1
2
. Infatti data una tale
C
di centro
C
e raggio
>
1
2
scegli qualsiasi punto
A
a distanza
1
2
da
C
, sul prolungamento della retta
CA
dalla parte di
A
scegli un punto a distanza
2
1
4
da
A
e definisci
r
come la retta
ortogonale a
CA
passante per tale punto.
19
Un punto
ð
x
;
y
Þ
di
C
soddisfa l’uguaglianza
x x
0
ð
Þ
2
þ
y y
0
ð
Þ
2
¼
r
2
, pertanto
x x
0
ð
Þ
2
r
2
. Prendendo la radice quadra-
ta trovi
x x
0
j
j
r
, da cui
x
0
r x x
0
þ
r
, e analogamente per l’ordinata.
24
Supponi che
C
1
e
C
2
abbiano equazioni rispettivamente
x
2
þ
y
2
þ
a
1
x
þ
b
1
y
þ
c
1
¼
0 e
x
2
þ
y
2
þ
a
2
x
þ
b
2
y
þ
c
2
¼
0. I
loro centri sono
P
1
¼
a
1
2
;
b
1
2
e
P
2
¼
a
2
2
;
b
2
2
, dunque
‘
ha coefficiente angolare
m
¼
b
1
b
2
a
1
a
2
. L’asse ra-
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SEZIONE 2
Geometria analitica