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e
sercitazioni informatiche
42
Con Cabri disegna la tangente a una circonferenza in un punto a tua scelta, ricordando che
la tangente e` perpendicolare alla congiungente con il centro.
43
Su un foglio di Cabri disegna due circonferenze secanti, quindi conduci la retta contenente i centri e
quella contenente i punti di intersezione, e chiedi a Cabri di verificare per te che tali rette sono per-
pendicolari tra loro.
44
Con Cabri verifica che se hai due circonferenze
C
1
e
C
2
concentriche, con
C
2
di raggio minore, le
circonferenze tangenti internamente a
C
1
e esternamente a
C
2
sono tutte congruenti tra loro. Proce-
di come segue:
Disegna
C
1
(piu` grande che puoi) e una retta
‘
passante per il centro di
C
1
.
Disegna una circonferenza
C
centrata in un punto di
‘
interno a
C
1
(ma piuttosto vicino al bor-
do) e tangente internamente a
C
1
.
Disegna la circonferenza
C
2
concentrica a
C
1
e tangente esternamente a
C
.
Sposta la retta
‘
facendola ruotare intorno al centro di
C
1
e
C
2
; vedrai che esse non si spostano
mentre
C
, ruotando, mantiene lo stesso raggio.
Usando lo strumento
Risolvi/Sistema
di Derive determina le coordinate approssimate dei punti
di intersezione delle seguenti coppie retta-circonferenza e circonferenza-circonferenza. Quindi ve-
rifica graficamente le soluzioni trovate aprendo sempre con Derive una
Finestra grafica 2D
.
Nota che il menu` di questa finestra grafica accetta equazioni implicite di luoghi geometrici:
45
‘
:
4
x y
þ
7
¼
0
C
:
x
2
þ
y
2
3
x
þ
ffiffi
5
p
y
¼
0
46
‘
:
3
x
7
y
þ
11
¼
0
C
:
x
2
þ
y
2
4
x
þ
2
y
31
13
¼
0
47
‘
:
2
x
þ
5
y
ffiffi
3
p ¼
0
C
:
x
2
þ
y
2
x
þ
2
y
9
2
¼
0
48
C
1
:
x
2
þ
y
2
4
x
3
y
7
¼
0
C
2
:
x
2
þ
y
2
þ
5
x
þ
y
3
¼
0
49
C
1
:
x
2
þ
y
2
þ
6
x
2
ffiffi
7
p
y
þ
14
¼
0
C
2
:
x
2
þ
y
2
2
ffiffi
7
p
x
6
y
2
¼
0
50
C
1
:
x
2
þ
y
2
3
x
þ
ffiffi
5
p
y
þ ¼
0
C
2
:
x
2
þ
y
2
ffiffiffiffiffi
10
p
x
þ
3
y
1
¼
0
Qualche soluzione
4
Indica con
s
1
il semiasse positivo delle ordinate e con
s
2
la bisettrice del primo quadrante. Il centro
P
0
della circonferenza cerca-
ta deve stare sulla bisettrice dell’angolo formato da
s
1
e
s
2
, che ha equazione
y
¼
1
þ
ffiffi
2
p
x
. Se chiami
r
il raggio delle cir-
conferenza cercata, vedi che
P
0
¼
r
; 1
þ
ffiffi
2
p
r
e che il punto di tangenza con
s
1
e`
P
1
¼
0; 1
þ
ffiffiffi
2
p
r
. Per trovare il
punto di tangenza
P
2
con
s
2
devi intersecare
s
2
con la perpendicolare a
s
2
passante per
P
0
, che ha equazione
x
þ
y
¼
2
þ
ffiffi
2
p
r
.
Dunque
P
2
¼
1
þ
1
ffiffi
2
p
r
;
1
þ
1
ffiffiffi
2
p
r
.
Dopo qualche calcolo trovi allora
P
1
P
2
¼
r
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
þ
ffiffiffi
2
p
p
. Imponendo che questa espressione valga
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
ffiffi
2
p
p
trovi facilmente che
r
¼
ffiffi
2
p
1, dunque la cir-
conferenza cercata ha equazione
x
2
þ
y
2
2
ffiffi
2
p
1
x
2
y
þ
1
¼
0.
6
Per avere una circonferenza devi imporre la relazione
ð
t
þ
1
Þ
2
þ
4
ð
t
3
Þ
2
4
ð
3
t
þ
8
Þ
>
0, che e` verificata per
t
6
¼
1.
Riscrivi ora l’equazione nella forma
x
2
þ
y
2
þ
x
6
y
þ
8
þ
t
ð
x
þ
2
y
3
Þ ¼
0. Se
x
0
;
y
0
ð
Þ
la soddisfa per ogni
t
, prenden-
do
t
¼
0 trovi
x
2
0
þ
y
2
0
þ
x
0
6
y
0
þ
8
¼
0 e prendendo
t
¼
1 hai per differenza
x
0
þ
2
y
0
3
¼
0. Mettendo a sistema
queste due equazioni ottieni il punto di coordinate
ð
1;2
Þ
, che e` il solo in comune a tutte le circonferenze in esame.
UNITA` 7
La circonferenza
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