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dicale ha invece equazione
a
1
a
2
ð
Þ
x
þ
b
1
b
2
ð
Þ
y
þ
c
1
c
2
ð
Þ ¼
0 e vedi subito che ha coefficiente angolare
1
m
, da cui
la conclusione. Nel caso
a
1
¼
a
2
oppure
b
1
¼
b
2
devi modificare questo ragionamento osservando che
‘
e` verticale e l’asse radi-
cale e` orizzontale o viceversa.
27
Ottieni l’equazione del fascio moltiplicando le equazioni di
C
1
e
C
2
per delle costanti
k
1
e
k
2
con
k
1
þ
k
2
6
¼
0, sommando i
risultati e poi dividendo per
k
1
þ
k
2
. Dire che
P
1
e
P
2
appartengono a
C
1
e
C
2
significa che se sostituisci le coordinate di
P
1
e
P
2
nelle equazioni di
C
1
e
C
2
trovi l’identita` 0
¼
0. Ma allora se sostuisci nell’equazione del fascio troverai
k
1
0
þ
k
2
0
k
1
þ
k
2
¼
0, dunque di nuovo 0
¼
0. Questo significa che le coordinate di
P
1
e
P
2
soddisfano l’equazione del fascio.
Dato che essa e` del tipo
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0, sapendo che e` soddisfatta da due punti distinti deduci che definisce una
circonferenza, da cui la conclusione.
30
Scegli un sistema di riferimento in cui l’origine delle coordinate sia il centro
O
di
C
e il diametro
AB
stia sull’asse delle ascisse.
Rispetto a esso
C
ha equazione
x
2
þ
y
2
¼
a
2
. Inoltre
A
¼ ð
a
;0
Þ
e
B
¼ ð
a
;
0
Þ
, mentre il terzo vertice
C
del triangolo e` un
punto di
C
diverso da
A
e
B
. Il triangolo
ABC
e` rettangolo in
C
se e solo vale la relazione
AC
2
þ
BC
2
¼
AB
2
(data dal teo-
rema di Pitagora). Se
C
¼ ð
x
C
;
y
C
Þ
questa relazione equivale a
ð
x
C
a
Þ
2
þ
y
2
C
þ ð
x
C
þ
a
Þ
2
þ
y
2
C
¼ ð
2
a
Þ
2
, ovvero a
x
2
C
þ
y
2
C
¼
a
2
, dunque e` soddisfatta perche´
C
appartiene a
C
.
34
Nella piantina il contenitore cilindrico e` rappresentato da una circonferenza
C
di raggio 1
e centro 2
þ
ffiffi
3
p
; 1 . Le tangenti a
C
uscenti da
O
sono l’asse delle ascisse e la retta
x
þ
ffiffi
3
p
y
¼
0, che avendo coefficiente angolare
1
ffiffi
3
p
forma un angolo di 30 (negativo)
con l’asse delle ascisse. Fissa ora la notazione come in figura.
O
x
y
A
B
C
D
P
E
H
L’area del deposito visibile dall’angolo
O
e` l’unione del triangolo
OAH
con il quadrilatero
ODPE
privato della porzione di questo quadrilatero interna alla circonferenza
C
. Poiche´
H
¼
5
2
ffiffi
3
p
;
5
2
vedi che
OAH
ha area
25
8
ffiffi
3
p
. Analogamente
ODPE
ha area 2
þ
ffiffi
3
p
. Ti resta ora da sottrarre l’area del settore circolare convesso deli-
mitato dai raggi
DP
e
PE
. Dato che l’angolo
d
DOE
misura 30 mentre
d
ODP
e
d
OEP
sono retti, vedi che
d
DPE
misura 150 .
Ne segue che il settore da considerare ha area
150
360
volte quella dell’intero cerchio, che vale . In definitiva l’area visibile e`
25
8
ffiffi
3
p þ
2
þ
ffiffi
3
p
5
12
7,83.
35
Chiama
P
1
e
P
2
i centri di
C
1
e
C
2
, nonche´
A
e
B
i punti di intersezione. Le tangenti a
C
1
e
C
2
in
B
si ottengono da quelle
in
A
per simmetria rispetto alla retta
P
1
P
2
, dunque quelle in
B
sono ortogonali tra loro se e solo se lo sono quelle in
A
. Cio` ac-
cade se e solo il triangolo
AP
1
P
2
e` rettangolo in
A
, ovvero se
AP
1
2
þ
AP
2
2
¼
P
1
P
2
2
, che equivale a
1
4
a
2
1
þ
b
2
1
4
c
1
þ
1
4
a
2
2
þ
b
2
2
4
c
2
¼
a
1
2
þ
a
2
2
2
þ
b
1
2
þ
b
2
2
2
,
ovvero, dopo facili passaggi, a
a
1
a
2
þ
b
1
b
2
¼
2
ð
c
1
þ
c
2
Þ
.
38
E` ragionevole approssimare una carota con un cilindro; inoltre, poiche´ le carote sono molto piu` lunghe che larghe, lo scarto nel
pulirle e` quasi tutto dovuto alla superficie laterale: lo scopo e` allora quello di rendere minimo percentualmente questo scarto.
Se la carota ha raggio
r
mm la quantita` scartata su 1 mm di lunghezza e` approssimativamente 2
r
mm
3
. Il quoziente tra lo
scarto e il volume della carota e` allora
q
ð
r
Þ ¼
2
r
r
2
¼
2
r
quindi
q
ð
r
Þ
si avvicina sempre di piu` a zero via via che
r
cresce. Per-
cio` conviene comprare carote grandi.
41
Che il punto medio di
DE
e quello di
DF
siano il centro di
C
e` perfettamente vero, ma questo non comporta alcun paradosso,
perche´
E
e
F
coincidono. Infatti sapendo che l’angolo
d
ABD
, come anche
d
ACD
, e` retto, vedi che anche
A
appartiene alla cir-
conferenza
C
, quindi
E
¼
F
¼
A
. Puoi verificare questo fatto anche scegliendo un sistema di riferimento appropriato. Prendi
l’origine in
A
, la lunghezza
AB
come unita` di misura e il semiasse positivo delle ascisse che contenga
B
, dunque
A
¼ ð
0;0
Þ
e
B
¼ ð
1;0
Þ
. Allora la perpendicolare ad
AB
passante per
B
ha equazione
x
¼
1. Inoltre, se le coordinate di
C
sono
ð
a
;
b
Þ
, la
perpendicolare ad
AC
passante per
C
ha equazione
ax
þ
by a
2
b
2
¼
0, quindi
D
ha coordinate 1;
1
b
ð
a
2
þ
b
2
a
Þ
.
Puoi allora verificare che
C
ha equazione
x
2
þ
y
2
x
1
b
a
2
þ
b
2
a
ð
Þ
y
¼
0: ti basta sostituire le coordinate di
B
,
C
,
D
e
controllare che l’uguaglianza sia verificata. Quindi
C
passa anche per il punto
A
, e allora
E
¼
F
¼
A
.
UNITA` 7
La circonferenza
347