Basic HTML Version
34
La piantina di un deposito, riprodotta in un sistema di riferimento cartesiano con unita` di misura il deca-
metro, e` il rettangolo
OABC
, dove
O
¼ ð
0;0
Þ
,
A
¼
0;
5
2
,
B
¼
5;
5
2
e
C
¼ ð
5;0
Þ
. Nel de-
posito si trova un contenitore cilindrico di raggio 1 decametro appoggiato al lato
OC
e distante 2
ffiffi
3
p
decametri dal lato
BC
. Determina l’area del deposito visibile a un guardiano posto in
O
.
35
Considera due circonferenze
C
1
e
C
2
secanti l’una all’altra. Verifica che se in uno dei due punti di interse-
zione le tangenti a
C
1
e
C
2
sono ortogonali tra loro allora lo stesso accade nell’altro punto di intersezione.
(In questo caso dirai che
C
1
e
C
2
stesse sono ortogonali tra loro.) Prova che se
C
1
e
C
2
hanno equazioni
x
2
þ
y
2
þ
a
1
x
þ
b
1
y
þ
c
1
¼
0 e
x
2
þ
y
2
þ
a
2
x
þ
b
2
y
þ
c
2
¼
0 allora sono ortogonali tra loro se e solo
se
a
1
a
2
þ
b
1
b
2
¼
2
ð
c
1
þ
c
2
Þ
.
36
Determina il luogo dei centri delle circonferenze che passano per l’origine e sono ortogonali alla circonfe-
renza
x
2
þ
y
2
4
y
þ
3
¼
0.
Stime e ragionevolezza
37
Mostra che se
c
<
0 la circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 interseca in due punti
distinti entrambi gli assi coordinati. Si puo` verificare la stessa situazione anche per
c
>
0?
38
Mondando le carote con l’apposito attrezzo un cuoco ne sottrae sem-
pre il millimetro di spessore piu` esterno. Per sprecare il meno possibi-
le, al proprietario del ristorante conviene comprare carote di diametro
grande o piccolo?
39
Una lastra di vetro rettangolare alta 2 metri viene appoggiata in verticale a una parete, ma non viene fissata
e comincia a scivolare lungo la parete e il pavimento, fino a cadere. Quale traiettoria compie il centro di
massa della lastra?
40
Da un punto sulla Terra, per quanto il cielo sia limpido e non ci
siano ostacoli, e` possibile vedere solo fino a una certa distanza (che
si chiama orizzonte), a causa della curvatura terrestre. Piu` ti alzi, ad
esempio con una mongolfiera, piu` l’orizzonte aumenta. A che altez-
za devi arrivare per vedere a 50 km di distanza? E quale e` il tuo
orizzonte se ti trovi su un aereo che vola a 10 km di altitudine?
(Approssima la Terra con una sfera.)
41
Considera un angolo convesso di vertice
A
e prendi due punti
B
e
C
, uno su ciascun lato dell’angolo. Trac-
cia le perpendicolari ai lati dell’angolo passanti per tali punti e chiama
D
il loro punto di intersezione,
quindi considera la circonferenza
C
passante per
B
,
C
,
D
. Ora chiama
E
l’al-
tro punto di intersezione, oltre a
B
, tra
C
e il segmento
AB
, e analogamente
chiama
F
l’altro punto di intersezione, oltre a
C
, tra
C
e
AC
. Poiche´ l’ango-
lo
d
DBE
e` retto, vedi che il segmento
DE
e` un diametro di
C
, quindi il
punto medio di
DE
e` il centro di
C
. Ma anche
d
DCF
e` retto, quindi anche
il punto medio di
DF
e` il centro di
C
. Ma allora
C
ha due centri distinti,
il che e` assurdo! Come puoi risolvere questo paradosso?
A
F
E
D
B
C
344
SEZIONE 2
Geometria analitica