Basic HTML Version
18
Fissa nel piano un punto
A
e una retta
r
non passante per
A
. Definisci il luogo
L
ð
A
,
r
Þ
dei punti
P
per
i quali la distanza da
r
e` uguale al quadrato della distanza da
A
. Verifica che
L
ð
A
,
r
Þ
e` una circonferen-
za. Individua le circonferenze
C
che puoi ottenere come
L
ð
A
,
r
Þ
per opportuni
A
e
r
, e descrivi come
trovare
A
e
r
a partire da
C
.
Dimostralo tu
19
Dimostra che tutti i punti della circonferenza
C
di centro
x
0
;
y
0
ð Þ
e raggio
r
hanno ascissa compresa tra
x
0
r
e
x
0
þ
r
e ordinata compresa tra
y
0
r
e
y
0
þ
r
.
20
Verifica che la circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 ha centro nell’origine se e solo
se
a
¼
b
¼
0 e passa per l’origine se e solo se
c
¼
0.
21
Dimostra che la circonferenza
C
di centro
x
0
;
y
0
ð Þ
e raggio
r
e` tangente all’asse delle ascisse se e solo se
y
0
j j ¼
r
, all’asse delle ordinate se e solo se
x
0
j j ¼
r
.
22
Prova che la circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 e` tangente all’asse delle ascisse se e
solo se
a
2
4
c
¼
0, all’asse delle ordinate se e solo se
b
2
4
c
¼
0.
23
Considera una circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 e un punto
P
¼
;
ð Þ
. Verifica
che
P
e` interno se
2
þ
2
þ
a
þ
b
þ
c
<
0 ed e` esterno se
2
þ
2
þ
a
þ
b
þ
c
>
0.
24
Verifica che l’asse radicale di due circonferenze non concentriche
C
1
e
C
2
e` perpendicolare alla retta
‘
che
contiene i loro centri.
25
Verifica la correttezza della costruzione degli egizi della perpendicolare a una retta data (descritta in una
scheda nella teoria).
26
Prendi due circonferenze
C
1
e
C
2
non concentriche e chiama
‘
la retta che contiene i loro centri. Verifica
che tutte le circonferenze del fascio generato da
C
1
e
C
2
hanno centro su
‘
.
27
Prendi due circonferenze
C
1
e
C
2
incidenti in due punti
P
1
e
P
2
e considera l’equazione del fascio genera-
to da
C
1
e
C
2
. Verifica che questa equazione definisce sempre una circonferenza passante per
P
1
e
P
2
.
28
Prendi due circonferenze
C
1
e
C
2
tangenti tra loro in un punto
P
¼ ð
x
0
;
y
0
Þ
e considera l’equazione del
fascio generato da
C
1
e
C
2
. Verifica che questa equazione definisce un solo punto oppure una circonferen-
za tangente a
C
1
e
C
2
in
P
. Fai un esempio nel quale definisce un solo punto.
Applicazioni, collegamenti, matematizzazione
29
Se nell’equazione di una circonferenza tutti i coefficienti sono interi e sai che il raggio
r
e` un numero razio-
nale, che valori puo` assumere
r
?
30
Sai gia` che se il lato
AB
del triangolo
ABC
inscritto in una circonferenza
C
e` un diametro di
C
, allora
ABC
e` rettangolo in
C
. Dimostra questo risultato per via analitica, usando il fatto che un triangolo per il
quale vale il teorema di Pitagora e` rettangolo.
31
Dati numeri reali 0
<
a
<
b
considera una circonferenza
C
di raggio
b
e una sua corda di lunghezza 2
a
.
Determina la distanza dal centro di
C
del punto di incontro delle tangenti a
C
negli estremi della corda.
32
Prendi una circonferenza
C
e un punto
P
esterno a
C
. Traccia da
P
una retta
r
secante
C
, e chiama
A
e
B
i punti di intersezione tra
r
e
C
. Dimostra che il prodotto tra le lunghezze dei segmenti
AP
e
BP
non
dipende dalla retta
r
scelta.
33
Fissa una circonferenza
C
e un punto
A
su di essa. Descrivi il luogo
L
dei punti
B
per i quali il punto me-
dio del segmento
AB
appartiene a
C
.
UNITA` 7
La circonferenza
343