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Prova a cimentarti
1
Dati numeri reali 0
<
a
<
b
, verifica che il luogo dei punti medi delle corde di lunghezza 2
a
di una cir-
conferenza
C
di raggio
b
e` anch’esso una circonferenza, e determinane il raggio.
2
Trova la circonferenza circoscritta al triangolo delimitato dalle rette 4
x
6
y
þ
7
¼
0, 2
x
1
¼
0 e
x y
¼
0.
3
Determina la circonferenza
C
che ha per diametro il segmento intercettato dagli assi coordinati sulla retta
r
:
x
2
y
þ
4
¼
0. Verifica che
C
passa per l’origine.
4
Determina il raggio della circonferenza tangente al semiasse positivo delle ordinate e alla bisettrice del pri-
mo quadrante in modo che la distanza tra i due punti di tangenza sia
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
ffiffi
2
p
p
.
5
Considera la circonferenza
C
:
x
2
þ
y
2
2
x
2
y
¼
2 e il punto
P
¼ ð
4;4
Þ
. Determina le rette passanti
per
P
e che intercettano su
C
una corda lunga 2.
6
Al variare di
t
2
R
considera il luogo di equazione
x
2
þ
y
2
þ ð
t
þ
1
Þ
x
þ
2
ð
t
3
Þ
y
3
t
þ
8
¼
0. Per
quali valori di
t
si tratta di una circonferenza? Esistono punti in comune a tutte tali circonferenze?
7
Considera le circonferenze
C
1
:
x
2
þ
y
2
þ
3
x
þ
y
4
¼
0 e
C
2
:
x
2
þ
y
2
y
3
¼
0. Verifica che si
intersecano in due punti
A
e
B
, e determina l’equazione della circonferenza che ha
AB
come diametro.
8
Determina le circonferenze che passano per i punti
ð
5;0
Þ
e
ð
5; 2
Þ
e sono tangenti alla retta
s
:
x
þ
y
1
¼
0.
Le sfide piu` impegnative
Tra le circonferenze tangenti alla retta
r
:
2
x
5
y
þ
9
¼
0 e alla circonferenza
C
:
x
2
þ
y
2
þ
8
y
þ
35
4
¼
0
trova le seguenti:
9
Quella con il raggio minimo possibile.
10
Tutte quelle di raggio
ffiffiffiffiffi
29
p
.
11
Tutte quelle tangenti anche alla circonferenza
C
1
:
x
2
þ
y
2
þ
8
x
12
y
þ
23
¼
0.
12
Trova le circonferenze
C
tangenti alle rette
s
1
:
y
¼
1,
s
2
:
4
x
þ
3
y
35
¼
0 e
s
3
:
4
x
3
y
þ
35
¼
0.
13
Considera la circonferenza
C
:
x
2
þ
y
2
4
x
4
¼
0 e il fascio proprio delle rette passanti per l’origine
O
¼ ð
0;0
Þ
. Verifica che ogni retta del fascio stacca
C
una corda di lunghezza almeno 4. Descrivi il luogo
geometrico dei punti medi di tali corde.
14
Considera la circonferenza
C
:
x
2
þ
y
2
2
x
¼
0 e determina il luogo dei punti
P
del piano dai quali
C
e` vista sotto un angolo di 60 .
15
Considera nel piano un triangolo e verifica che esiste una circonferenza (detta dei nove punti) che contiene:
I tre punti medi dei lati;
I tre piedi delle altezze;
I punti medi dei tre segmenti che hanno un estremo nell’ortocentro (punto di incontro delle altezze) e
l’altro in uno dei vertici.
16
Trova le rette tangenti a entrambe le circonferenze
x
2
þ
y
2
21
y
þ
90
¼
0 e
x
2
þ
y
2
4
x
3
y
¼
0.
17
Considera la circonferenza
C
:
x
2
þ
y
2
12
x
8
y
þ
48
¼
0 e il punto
P
¼ ð
4;0
Þ
. Determina la cir-
conferenza
C
0
simmetrica di
C
rispetto a
P
e verifica che
C
e
C
0
staccano corde della stessa lunghezza
su ogni retta del fascio proprio di centro
P
.
342
SEZIONE 2
Geometria analitica