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352
Trova le circonferenze
C
1
e
C
2
di raggio
ffiffiffiffiffi
13
p
passanti per il punto
ð
6;6
Þ
e tangenti alla retta
2
x
3
y
7
¼
0. Se
C
3
ha equazione
x
2
þ
y
2
þ
4
x
8
y
þ
12
¼
0, determina la posizione reciproca e
l’asse radicale delle coppie
C
1
,
C
2
ð
Þ
,
C
1
,
C
3
ð
Þ
e
C
2
,
C
3
ð
Þ
. Verifica che i tre assi radicali hanno un
punto in comune e trovane le coordinate.
½
C
1
:
x
2
þ
y
2
6
x
8
y
þ
12
¼
0 e
C
2
:
x
2
þ
y
2
18
x
16
y
þ
132
¼
0; tangenti esternamente,
3
x
þ
2
y
30
¼
0; secanti nei punti
ð
0;2
Þ
e
ð
0;6
Þ
,
x
¼
0; esterne, 11
x
þ
4
y
60
¼
0;
ð
0;15
Þ
353
Considera la circonferenza
C
1
:
x
2
þ
y
2
þ
12
x
þ
4
y
þ
35
¼
0, indica con
C
1
il suo centro e con
‘
la tan-
gente a
C
1
in
ð
7;0
Þ
. Trova la circonferenza
C
2
tangente a
‘
, con centro
C
2
di ordinata 7 appartenente
al secondo quadrante e raggio doppio di quello di
C
1
. Determina poi la circonferenza
C
3
tangente a
‘
,
con centro
C
3
sul semiasse positivo delle ascisse e raggio triplo di quello di
C
1
. Calcola il perimetro del
triangolo
C
1
C
2
C
3
.
½
C
2
:
x
2
þ
y
2
þ
6
x
14
y
þ
38
¼
0;
C
3
:
x
2
þ
y
2
16
x
þ
19
¼
0;
2
p
¼
3
ffiffiffiffiffi
10
p þ
ffiffiffiffiffiffiffi
170
p þ
10
ffiffi
2
p
354
Esercizio svolto
Considera le circonferenze
C
1
:
x
2
þ
y
2
14
x
4
y
þ
35
¼
0 e
C
2
:
x
2
þ
y
2
10
x
þ
23
¼
0. Verifica che sono tangenti internamente e determina il punto di tangen-
za
P
e la comune retta tangente in
P
. Indica con
Q
il punto opposto a
P
in
C
1
e con
A
e
B
le intersezio-
ni di
C
2
con l’asse delle ascisse. Trova l’area del triangolo
ABQ
.
Svolgimento.
C
1
e
C
2
hanno centri
C
1
¼ ð
7;2
Þ
e
C
2
¼ ð
5;0
Þ
e raggi
r
1
¼
3
ffiffi
2
p
e
r
2
¼
ffiffi
2
p
. Poiche´
d
ð
C
1
;
C
2
Þ þ
r
2
¼
r
1
hai che
C
2
e` tangente internamente a
C
1
. La tangente comune coincide allora con l’asse ra-
dicale, che ha equazione
x
þ
y
¼
3, e ricavi
P
intersecando tale asse con una tra
C
1
e
C
2
. Con facili calcoli trovi
P
¼ ð
4; 1
Þ
. Per ricavare
Q
intersechi
C
1
con la retta passante per
P
e
C
1
, che e`
x y
5
¼
0, ottenendo
Q
¼ ð
10;5
Þ
. Trovi poi le ascisse dei punti
A
e
B
imponendo
y
¼
0 nell’equazione di
C
2
; hai
A
¼ ð
5
ffiffi
2
p
;0
Þ
e
B
¼ ð
5
þ
ffiffi
2
p
;0
Þ
, o viceversa. Il triangolo
ABQ
ha base
AB
di lunghezza 2
ffiffi
2
p
e altezza 5, percio` l’area vale
5
ffiffi
2
p
.
355
Considera la circonferenza
C
1
:
x
2
þ
y
2
þ
8
x
2
y
þ
7
¼
0 e determina la circonferenza
C
2
di raggio
ffiffiffiffiffi
50
p
tale che l’asse radicale di
C
1
e
C
2
sia
y
¼
2
x
2 e il centro abbia ascissa positiva. Indica con
‘
la
retta perpendicolare all’asse delle ascisse e passante per il centro di
C
2
. Trova area e perimetro del trapezio
rettangolo delimitato dagli assi, da
‘
e dalla retta passante per i centri di
C
1
e
C
2
.
½
x
2
þ
y
2
8
x
10
y
9
¼
0;
A ¼
16, 2
p
¼
12
þ
2
ffiffi
5
p
356
Considera le circonferenze
C
1
di centro
ð
8; 1
Þ
e raggio
ffiffiffiffiffi
17
p
e
C
2
di centro
ð
2;5
Þ
e raggio
ffiffiffiffiffi
29
p
. Trova
i loro punti di intersezione
A
e
B
, indicando con
A
quello di ascissa maggiore. Conduci per
A
la tangente
‘
1
a
C
1
e la tangente
‘
2
a
C
2
. Trova poi il punto
P
di intersezione di
‘
2
con l’asse delle ascisse e il punto
Q
di intersezione di
‘
1
con l’asse delle ordinate. Calcola l’area del quadrilatero
APOQ
, dove
O
e` l’origine
degli assi.
A
¼ ð
7;3
Þ
,
B
¼ ð
4;0
Þ
;
P
¼
29
5
;0 ,
Q
¼
0;
5
4
;
A ¼
523
40
357
Considera le circonferenze
C
1
:
x
2
þ
y
2
6
x
þ
2
y
19
¼
0 e
C
2
:
x
2
þ
y
2
2
x
þ
12
y
79
¼
0.
Verifica che sono tangenti internamente e determina il punto di tangenza
P
e la comune retta tangente
‘
in
P
. Indica con
A
il punto di intersezione di
‘
con l’asse delle ordinate; conduci per
A
l’altra retta tangen-
te a
C
1
e indica con
B
il punto di tangenza. Chiama
C
il centro di
C
2
e calcola il perimetro del quadrila-
tero
ABCP
.
P
¼ ð
5;4
Þ
,
‘
:
y
¼
2
5
x
þ
6; 2
p
¼
4
þ
ffiffi
2
p
ffiffiffiffiffi
29
p
UNITA` 7
La circonferenza
339