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346
Considera le circonferenze
C
1
:
x
2
þ
y
2
4
x
8
y
30
¼
0 e
C
2
:
x
2
þ
y
2
8
x
þ
20
y
þ
66
¼
0; ve-
rifica che sono tangenti esternamente e determina il punto di tangenza
P
e la retta
‘
tangente a
C
1
e
C
2
in
P
. Calcola poi l’area del triangolo formato da
‘
con gli assi.
ð
3; 3
Þ
;
x
7
y
24
¼
0;
A ¼
288
7
347
Considera la circonferenza
C
1
:
x
2
þ
y
2
þ
10
x
þ
8
y
24
¼
0. Determina
C
2
tale che: il centro di
C
2
ha ascissa positiva e ordinata uguale a quella del centro di
C
1
; i punti di intersezione di
C
1
e
C
2
hanno
distanza 2 tra loro;
C
2
e` tangente alla retta
x
þ
2
y
2
¼
0.
½
x
2
þ
y
2
10
x
þ
8
y
þ
36
¼
0
348
Esercizio svolto
Determina le tangenti comuni alle circonferenze
C
1
e
C
2
di equazioni
x
2
þ
y
2
þ
10
x
6
y
þ
21
¼
0 e
x
2
þ
y
2
18
x
þ
10
y
þ
93
¼
0, quindi trova l’intersezione tra le
due aventi ordinata all’origine razionale.
Svolgimento.
C
1
e
C
2
hanno centri
P
1
¼ ð
5;3
Þ
e
P
2
¼ ð
9; 5
Þ
ed entrambe raggio
ffiffiffiffiffi
13
p
. Una retta
y
¼
mx
þ
q
e` tangente a
C
1
e
C
2
se 5
m
3
þ
q
j
j ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
13
m
2
þ
1
ð
Þ
p
e 9
m
þ
5
þ
q
j
j ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
13
m
2
þ
1
ð
Þ
p
.
Poiche´ i secondi membri di queste equazioni sono uguali, devono esserlo i primi membri, dunque
9
m
þ
5
þ
q
¼
5
m
3
þ
q
ð
Þ
, da cui ricavi
m
¼
4
7
oppure
q
¼
2
m
1. Sostituendo
m
¼
4
7
in
una delle due equazioni ed elevando al quadrato trovi facilmente
q
¼
1
7
1 13
ffiffi
5
p
, dunque le tangenti comu-
ni
y
¼
1
7
4
x
þ
1 13
ffiffi
5
p
, che hanno ordinata all’origine irrazionale. Sostituendo invece
q
¼
2
m
1 tro-
vi
m
¼
3
2
oppure
m
¼
1
18
, a cui corrispondono
q
¼
2 e
q
¼
8
9
, dunque hai le tangenti comuni
y
¼
3
2
x
þ
2 e
y
¼
1
18
x
8
9
, che sono quelle che devi intersecare. Mettendo a si-
stema le equazioni trovi il punto
P
¼ ð
2;
1
Þ
. Esso e` peraltro il punto
medio del segmento
P
1
P
2
, come puoi facilmente constatare se rappre-
senti nel piano cartesiano le rette e le circonferenze coinvolte e ti accorgi
che la figura ha una simmetria centrale rispetto a
P
.
x
y
O
349
Considera le rette
‘
1
:
y
¼
2
x
þ
10 e
‘
2
:
y
¼
5
x
þ
17 e determina le circonferenze
C
1
e
C
2
apparte-
nenti al fascio di equazione
x
2
þ
y
2
4
x
2
y
þ
k
¼
0 e tangenti rispettivamente a
‘
1
e
‘
2
. Verifica che
C
1
e
C
2
sono concentriche e calcola l’area della corona circolare da esse delimitata.
½
x
2
þ
y
2
4
x
2
y
¼
0,
x
2
þ
y
2
4
x
2
y
21
¼
0; 21
350
Considera la circonferenza
C
1
:
x
2
þ
y
2
4
x
þ
2
y
3
¼
0 e determina il valore che deve assumere il
parametro
k
affinche´ la circonferenza
C
2
:
x
2
þ
y
2
þ
12
x
þ
k
¼
0 intersechi
C
1
in
P
¼ ð
0;1
Þ
. Verifica
che
C
2
interseca l’asse delle ordinate in due punti, uno dei quali coincide con
P
. Determina la tangente
‘
a
C
2
nell’altro punto di intersezione. Calcola la lunghezza del segmento staccato da
C
1
su
‘
.
k
¼
1;
‘
:
y
¼
6
x
1;
4
37
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1406
p
351
Considera la circonferenza
C
1
:
x
2
þ
y
2
þ
8
x
2
y
þ
7
¼
0 e trova
m
<
1 tale che la retta
‘
:
y
¼
mx
1 sia tangente a
C
1
; indica con
A
il punto di tangenza. Determina la circonferenza
C
2
tan-
gente a
‘
e avente centro
C
¼ ð
12
;
3
Þ
; indica con
B
il punto di tangenza. Calcola l’area del triangolo
ABC
.
½
m
¼
3;
x
2
þ
y
2
24
x
6
y
7
¼
0;
A ¼
20
338
SEZIONE 2
Geometria analitica