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318
Considera la retta
‘
di equazione 3
x
þ
2
y
þ
10
¼
0 e indica con
C
la circonferenza tangente a
‘
e avente
centro
ð
1;3
Þ
. Calcola la lunghezza del segmento staccato da
C
sull’asse delle ordinate.
½
4
ffiffi
3
p
319
Considera le rette
r
:
x
þ
2
y
1
¼
0 e
s
:
y
¼
3
x
þ
3 e indica con
A
il loro punto di intersezione. De-
termina le circonferenze con centro
C
su
s
e tangenti a
r
in un punto
P
in modo che il triangolo
APC
ab-
bia area
5
2
.
½
x
2
þ
y
2
6
y
þ
4
¼
0 e
x
2
þ
y
2
4
x
þ
6
y
þ
8
¼
0
320
Considera la circonferenza
C
1
:
x
2
þ
y
2
þ
6
x
2
y
80
¼
0 e il punto
P
¼ ð
6;4
Þ
. Trova l’equazione
della circonferenza
C
2
tangente internamente a
C
1
in
P
e tale che, detti
A
,
B
,
C
,
D
i punti di intersezio-
ne di
C
2
con gli assi, il quadrilatero
ABCD
abbia area 6.
½
x
2
þ
y
2
6
x
6
y
þ
8
¼
0
321
Considera la circonferenza
C
:
x
2
þ
y
2
þ
6
x
þ
2
y
7
¼
0 e indica con
‘
la retta tangente a
C
in
ð
1; 2
Þ
. Indica poi con
P
il punto di intersezione di
‘
con l’asse delle ordinate. Trova i punti di intersezio-
ne fra
C
e la retta perpendicolare a
‘
e passante per
P
.
½ð
4; 5
Þ
322
Considera nel piano i punti
A
¼ ð
3;4
Þ
e
C
¼ ð
4; 1
Þ
e la circonferenza
C
di centro
C
passante per
A
.
Determina i coefficienti
a
,
c
2
R
in modo che la circonferenza di equazione
x
2
þ
y
2
þ
ax
2
y
þ
c
¼
0 in-
tersechi
C
in
A
e nel suo punto di ordinata nulla e ascissa positiva.
½
x
2
þ
y
2
þ
4
x
2
y
5
¼
0
323
Considera la circonferenza
C
di centro
ð
2;1
Þ
e raggio
ffiffiffiffiffi
10
p
. Determina la retta
‘
con coefficiente angolare
minore di 1 e passante per il punto
P
¼ ð
1; 3
Þ
sulla quale
C
stacca un segmento di lunghezza 2
ffiffi
5
p
.
Trova la circonferenza tangente a
‘
in
P
e avente centro sull’asse delle ascisse.
½
x
2
y
5
¼
0;
x
2
þ
y
2
þ
5
x
5
¼
0
324
Considera la circonferenza
C
di centro
C
¼ ð
4;3
Þ
che stacca sull’asse delle ordinate un segmento di lun-
ghezza 2 e conduci dal punto
ð
1;0
Þ
la tangente a
C
di coefficiente angolare negativo. Indica con
A
il
punto di tangenza e determina la retta passante per
A
e
C
.
½
y
¼
4
x
13
325
Considera le rette
‘
1
:
2
x
3
y
þ
18
¼
0 e
‘
2
:
3
x
þ
2
y
þ
14
¼
0 e determina la circonferenza
C
tan-
gente a
‘
1
e
‘
2
e avente centro
C
sulla retta
y
¼
x
þ
2 e ordinata positiva. Indica con
A
e
B
i punti di
tangenza e calcola l’area del triangolo
ABC
.
x
2
þ
y
2
þ
2
x
2
y
11
¼
0;
A ¼
13
2
326
Esercizio svolto
Considera le circonferenze
C
1
,
C
2
,
C
3
di equazioni
x
2
þ
y
2
4
y
¼
0,
x
2
þ
y
2
þ
12
x y
¼
0 e
x
2
þ
y
2
2
x
þ
4
y
12
¼
0. Determina la circonferenza
C
del fascio gene-
rato da
C
1
e
C
2
avente centro sulla retta tangente a
C
3
nel punto
P
¼ ð
5; 1
Þ
.
Svolgimento.
Ogni circonferenza del fascio ha centro sulla retta che contiene i centri
P
1
¼ ð
0;2
Þ
e
P
2
¼
6;
1
2
di
C
1
e
C
2
, e questa retta ha equazione
x
4
y
þ
8
¼
0. La tangente a
C
3
in
P
ha invece
equazione 4
x
þ
y
19
¼
0. Mettendo a sistema le equazioni delle due rette trovi che
C
ha centro nel punto
ð
4;3
Þ
. Dovresti ora determinare il raggio
r
ma puoi osservare che
C
1
e
C
2
si incontrano nell’origine (e in un al-
tro punto, che non ti interessa), dunque anche
C
passa per l’origine. Pertanto l’equazione
ð
x
4
Þ
2
þ ð
y
3
Þ
2
r
2
¼
0 di
C
deve avere termine noto nullo. Ne deduci che
C
e`
x
2
þ
y
2
8
x
6
y
¼
0.
Nel fascio generato dalle circonferenze
C
1
e
C
2
individua le circonferenze
C
con la proprieta` indicata:
C
1
:
x
2
þ
y
2
2
y
20
¼
0
C
2
:
x
2
þ
y
2
þ
5
x
þ
8
y
10
¼
0
327
C
passante per il punto
ð
1; 7
Þ
.
½
x
2
þ
y
2
þ
4
x
þ
6
y
12
¼
0
336
SEZIONE 2
Geometria analitica