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141
Esercizio svolto
Nel piano considera la circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
þ
6
x
4
y
7
¼
0.
Determina le rette tangenti a
C
passanti per il punto
P
1
¼ ð
1;0
Þ
, quelle per il punto
P
2
¼ ð
3;0
Þ
e
quelle per il punto
P
3
¼ ð
2;6
Þ
, nonche´ quelle parallele alla retta
‘
di equazione
x
þ
2
y
¼
0.
Svolgimento.
C
ha centro
P
0
¼ ð
3;2
Þ
e raggio
r
¼
2
ffiffi
5
p
. Dato che
P
1
appartiene a
C
, per esso passa una sola
tangente a
C
, che ottieni applicando le formule di sdoppiamento, cioe` operando nell’equazione di
C
le sostituzioni
x
2
?
x
1
x y
2
?
y
1
y
x
?
1
2
ð
x
1
þ
x
Þ
y
?
1
2
ð
y
1
þ
y
Þ
dove
ð
x
1
;
y
1
Þ
sono le coordinate di
P
1
. La tangente a
C
per
P
1
e` allora
x
þ
3
ð
x
þ
1
Þ
2
y
7
¼
0, ovvero
2
x y
2
¼
0. Il fascio proprio di centro
P
2
ha equazione
y
¼
m
ð
x
3
Þ
e la distanza da
P
0
di una retta del
fascio e`
j
6
m
þ
2
j
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
þ
m
2
p
. Imponendo che essa sia uguale a
r
trovi facilmente che
m
¼
2 oppure
m
¼
1
2
, dunque le
tangenti a
C
per
P
2
sono
y
¼
6 2
x
e
y
¼
x
2
3
2
. Dato che
P
3
e` interno a
C
, per
P
3
non passano tangenti a
C
. Infine il fascio improprio generato da
‘
ha
equazione
x
þ
2
y
þ
c
¼
0 e la distanza da
P
0
di una retta del fascio e`
j
1
þ
c
j
ffiffiffi
5
p
.
Imponendo l’uguaglianza con
r
trovi
c
¼
9 oppure
c
¼
11, dunque le rette
tangenti a
C
e parallele a
‘
sono
x
þ
2
y
þ
9
¼
0 e
x
þ
2
y
11
¼
0.
x
y
O
P
2
P
1
P
3
l
P
0
Per ognuna delle seguenti circonferenze
C
trova le tangenti a
C
passanti per il punto
P
assegnato o
parallele alla retta
‘
assegnata:
142
C
:
x
2
þ
y
2
8
x
2
y
þ
9
¼
0
P
¼ ð
2;3
Þ
½
x y
þ
1
¼
0
143
C
:
x
2
þ
y
2
16
ffiffi
3
p
x
10
x
¼
0
P
¼ ð
2;7
Þ
½
Non ne esistono
144
C
:
x
2
þ
y
2
þ
8
x
6
y
¼
0
P
¼
1;
11
2
½
x
¼
1 e 3
x
þ
4
y
25
¼
0
145
C
:
x
2
þ
y
2
þ
2
x
þ
6
y
7
¼
0
P
¼
14
3
;
8
3
½
x
4
y
þ
6
¼
0 e 4
x y
16
¼
0
146
C
:
x
2
þ
y
2
2
x
8
y
þ
12
¼
0
P
¼ ð
1;3
Þ
½
2
x
þ
y
1
¼
0
147
C
:
x
2
þ
y
2
þ
4
x
10
y
þ
16
¼
0
‘
:
3
x
2
y
þ
ffiffi
3
p ¼
0
½
3
x
2
y
þ
3
¼
0 e 3
x
2
y
þ
29
¼
0
148
C
:
x
2
þ
y
2
10
x
2
y
24
¼
0
‘
:
7
x
þ
y
41
¼
0
½
7
x
þ
y
þ
14
¼
0 e 7
x
þ
y
86
¼
0
149
C
:
x
2
þ
y
2
þ
4
x
6
¼
0
‘
:
3
x
þ
y
5
ffiffi
5
p ¼
0
½
3
x
þ
y
þ
16
¼
0 e 3
x
þ
y
4
¼
0
Per ognuna delle seguenti circonferenze
C
discuti la posizione relativa a
C
di tutte le rette passanti
per il punto
P
assegnato oppure parallele alla retta
‘
assegnata:
150
C
:
x
2
þ
y
2
x
þ
5
y
30
¼
0
P
¼ ð
2;3
Þ
½
Tutte secanti salvo 5
x
11
y
þ
43
¼
0 che e` tangente
151
C
:
x
2
þ
y
2
þ
4
x
4
y
2
¼
0
P
¼ ð
0;6
Þ
y
¼
mx
þ
6
¼
0 e` esterna per 3
<
m
<
1
3
,
tangente per
m
¼
3 e
m
¼
1
3
, secante altrimenti;
x
¼
0 e` secante
152
C
:
x
2
þ
y
2
4
x
þ
3
y
2
¼
0
P
¼ ð
4; 3
Þ
½
Tutte secanti
UNITA` 7
La circonferenza
321