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70
Per quali valori di
k
l’equazione
x
2
þ
y
2
þ
2
ffiffi
2
p
kx
þ ð
k
4
Þ
y
þ
10
k
1
4
o descrive una circonferenza
di raggio
ffiffi
2
p
?
½
k
¼
1
71
Esercizio svolto
Trova le circonferenze con centro sulla retta
x
þ
y
¼
8, di raggio
ffiffiffiffiffi
10
p
e passanti
per
ð
2;4
Þ
.
Svolgimento.
Devi trovare i coefficienti dell’equazione
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 in modo che la circonferen-
za da essa definita soddisfi le tre condizioni. In termini di
a
,
b
,
c
esse significano rispettivamente
a
2
b
2
¼
8,
1
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
þ
b
2
4
c
p
¼
ffiffiffiffiffi
10
p
e 2
2
þ
4
2
þ
2
a
þ
4
b
þ
c
¼
0.
Se scrivi il sistema equivalente
a
þ
b
¼
16
a
2
þ
b
2
4
c
¼
40
2
a
þ
4
b
þ
c
¼
20
8<
:
puoi trovarne la soluzio-
ne ricavando
b
in funzione di
a
dalla prima equazione, sostituendo nella terza, da
essa ricavando
c
in funzione di
a
e infine sostituendo nella seconda. Ottieni
b
¼
a
16, poi
c
¼
2
a
þ
44 e infine
a
2
þ
12
a
þ
40
¼
0, che ha le due so-
luzioni
a
¼
10 e
a
¼
2. Ricavando i corrispondenti valori di
b
e
c
trovi allo-
ra che ci sono due circonferenze che soddisfano le condizioni date, quelle di equa-
zioni
x
2
þ
y
2
10
x
6
y
þ
24
¼
0 e
x
2
þ
y
2
2
x
14
y
þ
40
¼
0.
x
y
O
1
3
8
4
2
5
72
Trova le circonferenze con centro sull’asse delle ascisse, area 9 e passanti per 0;
3
2
ffiffi
2
p
.
x
2
þ
y
2
3
ffiffi
2
p
x
9
2
¼
0,
x
2
þ
y
2
þ
3
ffiffi
2
p
x
9
2
¼
0
73
Trova le circonferenze di lunghezza 4 con centro sulla retta 2
x
þ
3
y
9
¼
0 e passanti per il centro del-
la circonferenza di equazione
x
2
þ
y
2
2
x
2
y
3
¼
0.
x
2
þ
y
2
6
x
2
y
þ
6
¼
0,
x
2
þ
y
2
6
13
x
74
13
y
þ
54
13
¼
0
74
Trova le circonferenze passanti per l’origine degli assi
O
, aventi il centro
C
nel primo quadrante e apparte-
nente alla retta 2
x
þ
y
¼
6 e tali che, dette
A
e
B
le proiezioni di
C
sugli assi, il rettangolo
OACB
abbia
area 4.
½
x
2
þ
y
2
2
x
8
y
¼
0,
x
2
þ
y
2
4
x
4
y
¼
0
75
Trova la circonferenza
C
passante per
ð
0;1
Þ
, avente centro
P
0
nel primo quadrante e le seguenti ulteriori
proprieta`: la retta passante per
P
0
di coefficiente angolare 3 delimita insieme agli assi un triangolo di
area
49
6
; le intersezioni di
C
con l’asse delle ascisse sono estremi di un segmento di lunghezza 2
ffiffi
3
p
.
½
x
2
þ
y
2
4
x
2
y
þ
1
¼
0
76
Nel piano fissa i punti
A
¼ ð
1; 1
Þ
e
C
¼ ð
3;1
Þ
e la retta
‘
di equazione
x
þ
2
y
3
¼
0. Trova una
circonferenza con centro sull’asse delle ordinate e raggio
ffiffiffiffiffi
10
p
in modo che intersechi
‘
in due punti
B
e
D
e che
ABCD
sia un trapezio isoscele.
½
x
2
þ
y
2
þ
2
y
9
¼
0
Recupero guidato
PROVA DA SOLO
QUALCHE SUGGERIMENTO
77
Scrivi l’equazione della circonferenza di centro
ð
3; 2
Þ
e raggio 7.
Imponi che la distanza dal centro del punto
ð
x
;
y
Þ
valga 7.
½
x
2
þ
y
2
6
x
þ
4
y
36
¼
0
316
SEZIONE 2
Geometria analitica